Beispiel BSP-Beton-Verbund [bspwiki.at]

Diese Seite ist nicht editierbar. Sie können den Quelltext sehen, jedoch nicht verändern. Kontaktieren Sie den Administrator, wenn Sie glauben, dass hier ein Fehler vorliegt.
====== Beispiel BSP-Beton-Verbund ======

===== Angabe =====

<figure abb_system>
{{ :hbv:examples:clt_concrete_composite:system.png?800 |Systemskizze}}
<caption>Systemskizze</caption>
</figure>

<figure abb_detail_auflager_kerve>
{{ :hbv:examples:clt_concrete_composite:detail_auflager_kervenausbildung.png?600 |Detail Auflager / Kervenausbildung}}
<caption>Detail Auflager / Kervenausbildung</caption>
</figure>

|**Einwirkungen**  |charakt. Wert der ständigen Einwirkung  |Eigengewicht  |g<sub>1,k</sub> = 3,00 kN/m<sup>2</sup>  |
|:::  |:::  |Fußbodenaufbau  |g<sub>2,k</sub> = 2,00 kN/m<sup>2</sup>  |
|:::  |charakt. Wert der veränderl. Einwirkung  |Nutzlast (inkl. Trennwandzuschlag)  |p<sub>k</sub> = 2,50 kN/m<sup>2</sup>  |
|**Abmessungen und Aufbau**  |Spannweite  |l = 6,40 m  |
|:::  |Aufbau  |BSP 5-schichtig, h<sub>clt</sub> = 180 mm (40-__30__-40-__30__-40 mm)  ||
|:::  |:::  |Beton h<sub>conc</sub> = 80,0 mm  ||
|:::  |:::  |Bewehrung BST 550 AQ 50 (wird in der Berechnung der wirksamen Steifigkeiten vernachlässigt)  ||
|**Material**  |BSP  |CL24h  |f<sub>clt,m,k</sub> = 26,4 N/mm<sup>2</sup>\\  f<sub>clt,c,0,k</sub> = 21,0 N/mm<sup>2</sup>\\  f<sub>clt,t,0,k</sub> = 14,5 N/mm<sup>2</sup>\\  f<sub>clt,v,k</sub> = 4,0 N/mm<sup>2</sup>\\  f<sub>clt,r,k</sub> = 1,1 N/mm<sup>2</sup>\\  E<sub>clt,0,mean</sub> = 12.000 N/mm<sup>2</sup>\\  |
|:::  |Beton  |C35/45  |f<sub>ck</sub> = 35,0 N/mm<sup>2</sup>\\  E<sub>cm</sub> = 34.000 N/mm<sup>2</sup>\\  Grundzahl des Kriechens (Endkriechzahl): φ<sub>0</sub> = 2,50\\  Endschwindmaß: ε<sub>cs,t=∞</sub> = -0,35‰)   |
|:::  |Kervensteifigkeit lt. TS  |K<sub>ser</sub> = 1.000 kN/mm/m  |
|**Nutzungsklasse**  |NKL 1||
|**KLED**  |"mittel"  |k<sub>mod</sub> = 0,80\\  k<sub>def</sub> = 0,60  |
|**Begrenzung der Durchbiegung**  |Anfangsdurchbiegung  |w<sub>inst,grenz</sub> = l/300  |
|:::  |Enddurchbiegung  |w<sub>net,fin,grenz</sub> = l/250  |
|:::  |Überhöhung  |w<sub>c</sub> = 0 mm  |
|**Feuerwiderstandsdauer**  |R90  ||

**Berechnungsannahmen:**

Berechnung gemäß ONR CEN/TS 19103:2022 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)] mit dem Stabwerksmodell nach Rautenstrauch [(:ref:RautenstrauchEtAl2003)]. Vernachlässigung des Ausfalls der Koppelstäbe bei Zugbeanspruchung in der Verbundfuge.

Verwendung der nationalen Festlegungen für Österreich der Grundlagendokumente für Holz (ÖNORM EN 1995-1-1:2019) [(:ref:on_b_1995_1_1_2019)] und Beton (ÖNORM EN 1992-1-1:2015) [(:ref:on_en_1992_1_1_2015)] in den Nachweisen im Grenzzustand der Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit, sofern nicht anders angegeben.

===== Festigkeitskennwerte =====

==== Brettsperrholz (BSP) ====

$${f_{\,clt,m,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_{\,clt,m,k}}} \over {{\gamma _M}}} = 0,80 \cdot {{26,4} \over {1,25}} = 16,9\;N/m{m^2}$$

$${f_\text{clt,c,0,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_\text{clt,c,0,k}}} \over {{\gamma _\text{M}}}} = 0,80 \cdot {{21,0} \over {1,25}} = 13,4\text{ N/mm}^2$$

$${f_{\,clt,t,0,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_{\,clt,t,0,k}}} \over {{\gamma _M}}} = 0,80 \cdot {{14,5} \over {1,25}} = 9,28\;N/m{m^2}$$

$${f_{\,clt,v,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_{\,clt,v,k}}} \over {{\gamma _M}}} = 0,80 \cdot {{4,00} \over {1,25}} = 2,56\;N/m{m^2}$$

$${f_{\,clt,r,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_{\,clt,r,k}}} \over {{\gamma _M}}} = 0,80 \cdot {{1,10} \over {1,25}} = 0,704\;N/m{m^2}$$

==== Beton ====

Druckfestigkeit C35/45 gemäß ÖNORM EN 1992-1-1:2015 [(:ref:on_en_1992_1_1_2015)]

$${f_{cd}} = {\alpha _{cc}} \cdot {{{f_{ck}}} \over {{\gamma _c}}} = 1,00 \cdot {{35,0} \over {1,50}} = 23,3\;N/m{m^2}$$
===== Einwirkungskombinationen =====

==== Einwirkungskombinationen für Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit (ULS) ====

Grundkombination (t = 0) gemäß EN 1990 [(:ref:on_en_1990_2013)]

$${q_d}_{,t = 0} = \left( {\sum {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}}  + {\gamma _{Q,1}} \cdot {q_{k,1}} + \sum {{\gamma _{Q,i}} \cdot {q_{k,i}}} } \right) \cdot b = \left( {1,35 \cdot \left( {3,00 + 2,00} \right) + 1,50 \cdot 2,5} \right) \cdot 1,00 = 10,5\;kN/m$$

Grundkombination (t = ∞) gemäß ONR CEN/TS 19103:2022-04-01 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)]

Aufgrund des unterschiedlichen Kriechverhaltens des Betons, des Holzes und der Verbundmittel (Kerven) werden die Einwirkungen (Lasten) im Grenzzustand der Tragfähigkeit zum Zeitpunkt t = ∞ in „kriechwirksame“ und „nicht kriechwirksame“ unterschieden.
Die resultierenden Spannungen in der BSP-Beton-Verbundkonstruktion ergeben sich gemäß der Technischen Spezifikation [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)] durch Überlagerung der Schnittgrößen aus dem quasi-ständigen Lastanteil (q<sub>perm,d</sub>) und den Spannungen aus Schwinden, berechnet mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = ∞ sowie der Spannungen aus dem kurz wirkenden Lastanteil (nicht kriechwirksam, q<sub>short,d</sub>) berechnet mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = 0.

$${q_{d,t = \infty }} = \left[ {\sum {\left( {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}} \right)}  + {\gamma _{Q,i}} \cdot {q_{k,i}}} \right] \cdot b = {q_{perm,d}}+{q_{short,d}}=\left[ {\sum {\left( {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}} \right)}  + {\gamma _{Q,i}} \cdot {\psi _{2,i}} \cdot {q_{k,i}}} \right] \cdot b + \left[ {{\gamma _{Q,i}} \cdot \left( {1 - {\psi _{2,i}}} \right) \cdot {q_{k,i}}} \right] \cdot b$$

quasi-ständiger Lastanteil

$${q_{perm,d}} = \left[ {\sum {\left( {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}} \right)}  + {\gamma _{Q,i}} \cdot {\psi _{2,i}} \cdot {q_{k,i}}} \right] \cdot b = \left[ {1,35 \cdot \left( {3,00 + 2,00} \right) + 1,50 \cdot 0,30 \cdot 2,50} \right] \cdot 1,00 = 7,88\;kN/m$$

kurzzeitiger Lastanteil

$${q_{short,d}} = \left[ {{\gamma _{Q,i}} \cdot \left( {1 - {\psi _{2,i}}} \right) \cdot {q_{k,i}}} \right] \cdot b = \left[ {1,50 \cdot \left( {1 - 0,30} \right) \cdot 2,50} \right] \cdot 1,00 = 2,63\;kN/m$$
==== Einwirkungskombinationen für Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (SLS) ====

charakteristische Lastkombination

$${q_{Ed,rare}} = \left( {\sum {{g_{k,j}}}  + \sum {{q_{k,i}}} } \right) \cdot b = \left( {\left( {3,00 + 2,00} \right) + 2,50} \right) \cdot 1,00 = 7,50\;kN/m$$

quasi-ständige Lastkombination

$${q_{Ed,perm}} = \left( {\sum {{g_{k,j}}}  + \sum {\left( {{\psi _{2.i}} \cdot {q_{k,i}}} \right)} } \right) \cdot b = \left( {3,00 + 2,00 + 0,3 \cdot 2,50} \right) \cdot 1,00 = 5,75\;kN/m$$

kurzzeitig wirkende Lastanteil

$${q_{Ed,short}} = \left( {1 - {\psi _{2,i}}} \right) \cdot {q_{k,i}} \cdot b = \left( {1 - 0,30} \right) \cdot 2,50 \cdot 1,00 = 1,75\;kN/m$$
===== Baustatische Modellierung =====

<figure abb_rautenstrauch>
{{ :hbv:examples:clt_concrete_composite:system_rautenstrauch.png?800 |Stabwerkmodell nach Rautenstrauch mit Einwirkung}}
<caption>Stabwerkmodell nach Rautenstrauch mit Einwirkung</caption>
</figure>

<figure abb_modellierung_kerve>
{{ :hbv:examples:clt_concrete_composite:modellierung_kerve.png?250 |Modellierung Kerve}}
<caption>Modellierung Kerve</caption>
</figure>

<WRAP info 100%>
Zitat aus: „Zur Bemessung von Holz-Beton-Verbunddecken“, Seite 23- 26 [(:ref:Schaenzlin2019)] [Hervorhebung durch die Autoren hinzugefügt]

Ziel [der HBV-Bemessung mit Hilfe der mehreren zu Verfügung stehenden Verfahren in [(:ref:Schaenzlin2019)]] ist es, die Schnittgrößen in den Teilquerschnitten zu bestimmen. Mit Hilfe dieser Schnittgrößen der Teilquerschnitte können dann die Nachweise geführt werden. Die Technical Specification fordert allerdings beim Nachweis die __Kontrolle der Kompatibilität__ [der Verformungen der Einzelquerschnitte bzw. Krümmungen][...]. Hintergrund für diese Regelung ist, dass bei der Ermittlung der Schnittgrößen immer davon ausgegangen wird, dass die beiden Teilquerschnitte sich __nicht voneinander abheben__. Damit haben beide Teilquerschnitte die __gleiche Biegelinie__ und damit die __gleiche Krümmung__. Bei der Bemessung insb. von Stahlbetonbauteilen wird allerdings davon ausgegangen, dass die Bewehrung anfängt zu fließen und die maximale Druckdehnung erreicht wird. Damit wird an der Oberseite des Betonquerschnitts von einer Dehnung von etwa ε<sub>Beton</sub> = −3,5 ‰ angenommen, während auf der Höhe der Bewehrung von einer Dehnung im Stahl bzw. Beton von ε<sub>Bew</sub> ≥ 2 ‰ ausgegangen wird. Durch diese beiden, bei der Bemessung des Querschnitts angenommenen Dehnungen ergibt sich die in diesem Fall angenommene Krümmung zu:

$$\kappa  = {{{\varepsilon _{Bew}} - {\varepsilon _{Beton}}} \over d}$$

Da diese Krümmung allerdings aus der Bemessung bestimmt wird, muss sie nicht zwangsläufig der Krümmung aus der Schnittgrößenermittlung übereinstimmen. Hinzu kommt, dass die __maximale Dehnung des Holzes__ begrenzt ist. Wird von einer charakteristischen Festigkeit ausgegangen, ist die maximale Dehnung im Holz

$${\varepsilon _{\max ,clt}} = {{{f_{clt,m,k}}} \over {{E_{clt,0,mean}}}}\overbrace  = ^{CLT}{{26,4\;N/m{m^2}} \over {12.000\;N/m{m^2}}} = 2,20\;‰$$

Damit liegt die __maximale Dehnung im Holz im Bereich der Fließdehnung des Stahls__. Da das Holz i.d.R. aber unterhalb der Zugzone des Betons angebracht wird, ist die Dehnung im Holz – je nach Verbundfaktor γ – größer als die Dehnung in der Bewehrung [...].

<figure abb_verlauf_dehnung_verbundquerschnitt>
{{ :hbv:examples:clt_concrete_composite:dehnungen_verbundquerschnitt.png?400 |Verlauf der Dehnung im Verbundquerschnitt}}
<caption>Verlauf der Dehnung im Verbundquerschnitt [(:ref:Schaenzlin2019)]</caption>
</figure>

Sollte also zusätzliche Bewehrung als tragendes Bauteil eingebaut werden, stellt sich die Frage, inwieweit diese Bewehrung aktiviert werden kann, ohne dass die maximale Dehnung im Holzquerschnitt überschritten wird, bzw. ob die Kompatibilität der Krümmungen und der Dehnungen im Holz- und Betonquerschnitt auch im Zustand der Bemessung sichergestellt ist. In der Regel führt die Berücksichtigung der Kompatibilität zu einer Bewehrung in einem elastischen Zustand. __Durch die häufig geringen Dehnungen im Bereich der Bewehrung führt dies häufig zu einer recht hohen und damit unwirtschaftlichen Bewehrungsmenge__, so dass eigentlich __immer eine Rissiteration empfohlen wird__, so dass der __Beton dann überdrückt ist und keine tragende Bewehrung benötigt__.

</WRAP>

<WRAP info 100%>
Nach ONR CEN/TS 19103:2022 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)] Absch. 7.1.1 (7) und (8) dürfen für die Materialen Holz und Beton linear-elastische Spannungs-Dehnungs-Beziehungen angenommen werden. Deshalb kann im vorliegenden Beispiel in der Rissiteration auf die gebräuchlichen Beton-Werkstoffgesetze (Parabel-Rechteck-Diagramm, bilineares Diagramm bzw. Spannungsblock) verzichtet werden.

Des Weiteren werden vereinfachend in der Berechnung der Dehn- (EA)<sub>conc</sub> und Biegesteifigkeiten (EI)<sub>conc</sub> der Stahlquerschnitt vernachlässigt.

<figure abb_iteration>
{{ :hbv:examples:clt_concrete_composite:rissiteration.png?800 |Iteration}}
<caption>Iteration</caption>
</figure>

</WRAP>

===== Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit (ULS) =====

==== Berechnung mit den Anfangssteifigkeiten (zum Zeitpunkt t = 0) ====

=== Querschnittswerte der Brettsperrholzplatte ===

Bemessungswert des E-Moduls

$${E_{clt,0,mean,d,t = 0}} = {{{E_{clt,0,mean}}} \over {{\gamma _M}}} = {{12.000} \over {1,25}} = 9.600\;N/mm^2$$

Querschnittswerte

$${\left( {E \cdot A} \right)_{clt,d,t = 0}} = \sum {\left( {{E_{clt,0,mean,d,t = 0}} \cdot {A_i}} \right)}  = 3 \cdot 9.600 \cdot 1.000 \cdot 40,0 = 1,15 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{clt,d,t = 0}} = {E_{clt,0,mean,d,t = 0}} \cdot b \cdot \left[ {\sum {\left( {{{{h_i}^3} \over {12}}} \right)}  + \sum {\left( {{h_i} \cdot {e_i}^2} \right)} } \right] = 9.600 \cdot 1.000 \cdot \left[ {3 \cdot {{{{40,0}^3}} \over {12}} + 2 \cdot 40,0 \cdot {{70,0}^2}} \right] = 3,92 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$
=== Querschnittswerte des Betonquerschnitts ===

Bemessungswert des E-Moduls

$${E_{conc,d,t = 0}} = {{{E_{cm}}} \over {{\gamma _c}}} = {{34.000} \over {1,50}} = 22.700\;N/m{m^2}$$

Querschnittswerte (unter Vernachlässigung der Bewehrung in der Steifigkeitsberechnung)

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,t = 0}} = {E_{conc,d,t = 0}} \cdot b \cdot {h_{conc}} = 22.700 \cdot 1.000 \cdot 80,0 = 1,82 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,d,t = 0}} = {E_{conc,d,t = 0}} \cdot b \cdot {{h_{conc}^3} \over {12}} = 22.700 \cdot 1.000 \cdot {{{{80,0}^3}} \over {12}} = 9,69 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

=== ideelle Biegesteifigkeit einer Schubkonsole ===

$${K_{u,d,t = 0}} = {K_{ser,d,t = 0}} = {{{K_{ser}}} \over {{\gamma _M}}} = {{1.000} \over {1,25}} = 800\;kN/mm/m$$

$${z_{conc}} = {{\left( {{h_{conc}} + {h_n}} \right)} \over 2} = {{\left( {80,0 + 20,0} \right)} \over 2} = 50,0\;mm$$

$${z_{clt}} = {{\left( {{h_{clt}} - {h_n}} \right)} \over 2} = {{\left( {180 - 20,0} \right)} \over 2} = 80,0\;mm$$

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{t = 0}^ *  = {{{K_{u,d,t = 0}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{clt}}^3} \right) \cdot b = {{800 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{50,0}^3} + {{80,0}^3}} \right) \cdot 1,00 = 1,70 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$
==== Iteration zur Bestimmung der gerissenen Betonhöhe zur Bestimmung der Steifigkeiten des Betons im gerissenen Zustand (Zustand II) ====

Die Berechnung der Schnittkräfte erfolgte mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes mit den zuvor angeführten Querschnitts- und Kervensteifigkeiten (Beton ungerissen - Zustand I) und der charakteristischen (seltenen) Einwirkungskombination q<sub>Ed,rare</sub>= 7,50 kN/m zur Ermittlung der Risstiefe, um damit die Umlagerung der Schnittkräfte vom Beton- auf den Brettsperrholzquerschnitt zu berücksichtigen.

**Berechnung des 1. Iterationsschrittes** (mit N<sub>conc</sub> = -174 kN und M<sub>conc</sub> = 3,13 kNm aus dem Stabwerksprogramm)

Vereinfachung: Betonzugfestigkeit f<sub>ctd</sub> = 0 N/mm<sup>2</sup>

$$\sigma  = \left[ {{{{N_{conc}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} \pm {{{M_{conc}}} \over {{{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} \cdot z} \right] \cdot {E_{conc,d,t = 0}} \le {f_{ctd}} = 0$$

$$ \to z =  - {{{N_{conc}} \cdot {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{conc,d,t = 0}}} \over {{M_{conc}} \cdot {{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} =  - {{ - 174 \cdot {{10}^3} \cdot 9,69 \cdot {{10}^{11}}} \over {3,13 \cdot {{10}^6} \cdot 1,82 \cdot {{10}^9}}} = 29,6\;mm$$

$${h_{conc,red}} = {{{h_{conc}}} \over 2} + z = {{80,0} \over 2} + 29,6 = 69,6\;mm$$

$${z_{conc,i = 1}} = {h_{conc}} + {{{h_n}} \over 2} - {{{h_{conc,red}}} \over 2} = 80,0 + {{20,0} \over 2} - {{69,6} \over 2} = 55,2\;mm$$

**Berechnung der neuen Querschnittswerte der Betonplatte**

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,t = 0}} = {E_{conc,d,t = 0}} \cdot b \cdot {h_{conc,red}} = 22.700 \cdot 1.000 \cdot 69,6 = 1,58 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,d,t = 0}} = {E_{conc,d,t = 0}} \cdot b \cdot {{h_{conc,red}^3} \over {12}} = 22.700 \cdot 1.000 \cdot {{{{69,6}^3}} \over {12}} = 6,38 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

**ideelle Biegesteifigkeit einer Schubkonsole**

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{t = 0}^ *  = {{{K_{u,d,t = 0}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{clt}}^3} \right) \cdot b = {{800 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{55,2}^3} + {{80,0}^3}} \right) \cdot 1,00 = 1,81 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

<table tab_steifigkeiten_iteration>
<caption>aus den Iterationsschritten resultierende Dehn- und Biegesteifigkeiten sowie Biegesteifigkeit der Schubkonsole mit den zugehörigen Abmessungen</caption>
^  Iteration #  ^  h<sub>conc</sub>  ^  (E∙Ι)<sub>conc,d,t=0</sub>  ^  (E∙A)<sub>conc,d,t=0</sub>  ^  z<sub>conc</sub>  ^  z<sub>clt</sub>  ^  z<sub>conc</sub>+z<sub>clt</sub>  ^  (E∙Ι)<sup>*</sup>  ^
^  :::  ^  [mm]  ^  [Nmm<sup>2</sup>]  ^  [N]  ^  [mm]  ^  [mm]  ^  [mm]  ^  [Nmm<sup>2</sup>]  ^
^  0  |  80,0  |  9,69E+11  |  1,82E+09  |  50,0  |  80,0  |  130  |  1,70E+11  |
^  1  |  69,6  |  6,38E+11  |  1,58E+09  |  55,2  |  :::  |  135  |  1,81E+11  |
^  2  |  67,6  |  5,84E+11  |  1,53E+09  |  56,2  |  :::  |  136  |  1,84E+11  |
^  3  |  67,4  |  5,79E+11  |  1,53E+09  |  56,3  |  :::  |  136  |  1,84E+11  |
^  4  |  67,2  |  5,74E+11  |  1,53E+09  |  56,4  |  :::  |  136  |  1,84E+11  |
</table>

<table tab_schnittekraefte_iteration>
<caption>Schnittkräfte aus den Iterationsschritten mit der überdrückten Betonhöhe h<sub>conc,red</sub></caption>
^  Iteration #  ^  Zustand Beton  ^  N<sub>conc</sub>  ^  M<sub>conc</sub>  ^  N<sub>clt</sub>  ^  M<sub>clt</sub>  ^  Kerve 1  ^  Kerve 2  ^  Kerve 3  ^  h<sub>conc,red</sub>  ^
^  :::  ^  :::  ^  [kN]  ^  [kNm]  ^  [kN]  ^  [kNm]  ^  [kN]  ^  [kN]  ^  [kN]  ^  [mm]  ^
^  0  |  ZΙ  |  -174  |  3,13  |  174  |  12,7  |  58,6  |  53,3  |  62,0  |  69,6  |
^  1  |  ZΙI  |  -172  |  2,12  |  172  |  13,0  |  58,0  |  52,5  |  61,8  |  67,6  |
^  2  |  :::  |  -172  |  1,95  |  172  |  13,1  |  57,8  |  52,3  |  61,7  |  67,4  |
^  3  |  :::  |  -172  |  1,94  |  172  |  13,1  |  57,8  |  52,3  |  61,7  |  67,2  |
^  4  |  :::  |  -172  |  1,92  |  172  |  13,1  |  57,8  |  52,4  |  61,8  |  67,2  |
</table>

**Kontrolle Dekompression**

Aus dem 4. Iterationsschritt ergibt sich eine reduzierte überdrückte Betonhöhe von h<sub>conc,red</sub> = 67,2 mm. Die Kontrolle der Dekompression wird über die Berechnung der Normalspannungen in der Faser z<sub>i</sub> = h<sub>conc,red</sub> / 2 = 67,2 / 2 mm geführt.

$$\sigma = \left[ {{{{N_{conc}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} + {{{M_{conc}}} \over {{{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} \cdot z} \right] \cdot {E_{conc,d,t = 0}}= \left[ {{{ - 172 \cdot {{10}^3}} \over {1,53 \cdot {{10}^9}}} + {{1,92 \cdot {{10}^6}} \over {5,74 \cdot {{10}^{11}}}} \cdot {{67,2} \over 2}} \right] \cdot 22.700 =  - 2,55 + 2,55 \approx 0\;N/m{m^2}$$

<WRAP info 100%>
Als Vereinfachung im Berechnungsbeispiel wird die iterierte reduzierte Betonhöhe h<sub>conc,red</sub> über die gesamte Trägerlänge angenommen. Diese wird mit den Bemessungswerten der E-Moduln berechnet und für die Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit für Zeitpunkte t = 0, t = 3-7 a und t = ∞ verwendet.

Es liegt im Ermessen des Nachweisführenden, für die maßgebenden Zeitpunkte und Grenzzustände jeweils eine Rissiteration durchzuführen.
</WRAP>


==== Schnittkraftberechnung ====

=== Ermittlung der Schnittkräfte mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = 0 ===

**Schnittkräfte und Spannungen für die Grundkombination mit q<sub>d,t=0</sub> = 10,5 kN/m (Nachweis ULS t = 0)**

Hinweis: Ermittlung der Schnittkräfte aus der Iteration 4 vom charakteristischen (q<sub>Ed,rare</sub>) Lastniveau auf jenes der Grundkombination (q<sub>d,t=0</sub>):

N<sub>clt,d</sub> = - N<sub>conc,d</sub> = N<sub>clt</sub> ⋅ q<sub>d</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 172 ⋅ 10,5 / 7,50 = 241 kN

M<sub>conc,d</sub> = M<sub>conc</sub> ⋅ q<sub>d</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 1,92 ⋅ 10,5 / 7,50 = 2,69 kNm

M<sub>clt,d</sub> = M<sub>clt</sub> ⋅ q<sub>d</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 13,1 ⋅ 10,5 / 7,50 = 18,3 kNm

N<sub>Kerve1,d</sub> = N<sub>Kerve1</sub> ⋅ q<sub>d</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 57,8 ⋅ 10,5 / 7,50 = 80,9 kN

N<sub>Kerve2,d</sub> = N<sub>Kerve2</sub> ⋅ q<sub>d</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 52,4 ⋅ 10,5 / 7,50 = 73,4 kN

N<sub>Kerve3,d</sub> = N<sub>Kerve3</sub> ⋅ q<sub>d</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 61,8 ⋅ 10,5 / 7,50 = 86,5 kN

^    ^  Grundkombination mit q<sub>d,t=0</sub> = 10,5 kN/m (Nachweis ULS t = 0)  ^^^^^^^^^
^  Faser  ^  E  ^  N<sub>d</sub>  ^  E⋅A  ^  σ<sub>N</sub>  ^  M<sub>d</sub>  ^  E∙Ι  ^  z<sub>i</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>+σ<sub>M</sub>  ^
^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [kN]  ^  [N]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [kNm]  ^  [Nmm<sup>2</sup>]  ^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^
^  0  |  22.700  |  -241  |  1,53E+09  |  -3,58  |  2,69  |  5,74E+11  |  -33,6  |  -3,57  |  -7,15  |
^  67,2  |  22.700  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  33,6  |  3,57  |  0,0  |
^  80  |  9.600  |  241  |  1,15E+09  |  2,01  |  18,3  |  3,92E+12  |  -90,0  |  -4,04  |  -2,02  |
^  260  |  9.600  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  90,0  |  4,04  |  6,04  |

**Schnittkräfte und Spannungen für die quasi-ständige Kombination q<sub>qu-st,d</sub> = 7,88 kN/m und kurzzeitigen Lastanteil q<sub>short,d</sub> = 2,63 kN/m**

Ermittlung der Spannungen von der Grundkombination auf die quasi-ständige Kombination q<sub>perm,d</sub> = 7,88 kN/m und kurzzeitigen Lastanteil q<sub>short,d</sub> = 2,63 kN/m mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = 0:

^    ^  quasi-ständige Komination q<sub>perm,d</sub> = 7,88 kN/m (Nachweis ULS t = 3-7 a)  ^^^  kurzzeitigen Lastanteil q<sub>short,d</sub> = 2,63 kN/m (Nachweis ULS t = ∞)  ^^^
^  Faser  ^  σ<sub>N</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>+σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>+σ<sub>M</sub>  ^
^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^
^  0  |  -2,69  |  -2,68  |  -5,37  |  -0,897  |  -0,894  |  -1,79  |
^  67,2  |  :::  |  2,68  |  0,0  |  :::  |  0,894  |  0,0  |
^  80  |  1,51  |  -3,02  |  -1,51  |  0,503  |  -1,01  |  -0,507  |
^  260  |  :::  |  3,02  |  4,53  |  :::  |  1,01  |  1,51  |

**Ermittlung der Kervenkräfte für den kurzzeitigen Lastanteil q<sub>short,d</sub> = 2,63 kN/m (Nachweis Kerve ULS t = ∞)**

N<sub>Kerve1,d</sub> = N<sub>Kerve1</sub> ⋅ q<sub>short,d</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 80,9 ⋅ 2,63 / 10,5 = 20,3 kN

N<sub>Kerve2,d</sub> = N<sub>Kerve2</sub> ⋅ q<sub>short,d</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 73,4 ⋅ 2,63 / 10,5 = 18,4 kN

N<sub>Kerve3,d</sub> = N<sub>Kerve3</sub> ⋅ q<sub>short,d</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 86,5 ⋅ 2,63 / 10,5 = 21,7 kN
=== Schnittkräfte mit Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = ∞ ===

== Ermittlung des Beiwertes zur Berücksichtigung des Systemkriechverhaltens (siehe ONR CEN/TS 19103:2022) ==

$${\gamma _1}  = {{{{\left( {E \cdot A} \right)}_{clt,d,t = 0}} \cdot {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{clt,d,t = 0}} \cdot {N_{clt}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,d,t = 0}} \cdot \left[ {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{clt,d,t = 0}} \cdot {M_{clt}} \cdot \left( {{z_{conc}} + {z_{clt}}} \right) - {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{clt,d,t = 0}} \cdot {N_{clt}}} \right]}}$$

$$ = {{1,15 \cdot {{10}^9} \cdot 3,92 \cdot {{10}^{12}} \cdot 172 \cdot {{10}^3}} \over {1,53 \cdot {{10}^9} \cdot \left[ {1,15 \cdot {{10}^9} \cdot 13,1 \cdot {{10}^6} \cdot \left( {56,4 + 80,0} \right) - 3,92 \cdot {{10}^{12}} \cdot 172 \cdot {{10}^3}} \right]}} = 0,367$$

Koeffizient zur Berücksichtigung der Auswirkungen der Verbundwirkungen auf die Kriechzahl des Betonquerschnitts aus Tab. 7.1 ONR CEN/TS 19103:2022 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)]

für φ<sub>0</sub> = 2,50 und k<sub>def</sub> = 0,60

$${\psi _{conc}} = 2,0 - 0,5 \cdot {\gamma _1}^{1,9} = 2,0 - 0,5 \cdot {0,367^{1,9}} = 1,93$$

<table tab_stiffness_inf>
<caption> Steifigkeiten und Verschiebungsmodul zum Zeitpunkt t = ∞ </caption>
^    ^  BSP  ^  Beton  ^  Kerve  ^
|  t=0  |  E<sub>clt,0,mean,d,t=0</sub> = 9.600 N/mm<sup>2</sup>  |  E<sub>cm,d,t=0</sub> = 22.700 N/mm<sup>2</sup>  |  K<sub>u,d,t=0</sub> = K<sub>ser,d,t=0</sub> = 800 kN/mm/m  |
|  Beiwerte  |  ψ<sub>clt</sub> = 1,00  |  ψ<sub>conc</sub> = 1,93  |  ψ<sub>conn</sub> = 1,00  |
|  Langzeit  |  k<sub>def</sub> = 0,60  |  φ<sub>0</sub> = 2,50  |  k<sub>def</sub>‘ = 2⋅k<sub>def</sub> = 2⋅0,60 = 1,20  |
|  t=∞  |  ${E_{clt,0,mean,d,t = \infty }} = {{{E_{clt,0,mean,d,t = 0}}} \over {1 + {\psi _{clt}} \cdot {k_{{\mathop{\rm de}\nolimits} f}}}}$\\  $ = {{9.600} \over {\underbrace {1 + 1,00 \cdot 0,60}_{1,60}}} = 6.000\;N/m{m^2}$  |  ${E_{conc,d,t = \infty }} = {{{E_{conc,d,t = 0}}} \over {1 + {\psi _{conc}} \cdot {\varphi _0}}} = $\\  $ = {{22.700} \over {\underbrace {1 + 1,93 \cdot 2,50}_{ = 5,83}}} = 3.900\;N/m{m^2}$  |  ${K_{u,d,t = \infty }} = {K_{ser,d,t = \infty }} = {{{K_{ser,d,t = 0}}} \over {1 + {\psi _{conn}} \cdot {k_{def}'}}} = $\\  $ = {{800} \over {\underbrace {1 + 1,00 \cdot 1,20}_{2,20}}} = 364\;kN/mm/m$  |
</table>

== Ermittlung der Schnittkräfte mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = ∞ ==

**Querschnittswerte der Brettsperrholzplatte**

$${\left( {E \cdot A} \right)_{clt,d,t = \infty }} = \sum {\left( {{E_{clt,0,mean,d,t = \infty }} \cdot {A_i}} \right)}  = 3 \cdot 6.000 \cdot 1.000 \cdot 40,0 = 7,20 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{clt,d,t = \infty }} = {E_{clt,0,mean,d,t = \infty }} \cdot b \cdot \left[ {\sum {\left( {{{{h_i}^3} \over {12}}} \right)}  + \sum {\left( {{h_i} \cdot {e_i}^2} \right)} } \right] = 6.000 \cdot 1.000 \cdot \left[ {3 \cdot {{{{40,0}^3}} \over {12}} + 2 \cdot 40,0 \cdot {{70,0}^2}} \right] = 2,45 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

**Querschnittswerte des Betonquerschnitts** (im Zustand II) zum Zeitpunkt t = ∞ mit h<sub>conc,red,t=0</sub> = 67,2 mm unter Vernachlässigung der Bewehrung

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,t = \infty }} = {E_{conc,d,t = \infty }} \cdot b \cdot {h_{conc,red,t = 0}} = 3.900 \cdot 1.000 \cdot 67,2 = 2,62 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,d,t = \infty }} = {E_{conc,d,t = \infty }} \cdot b \cdot {{h_{conc,red,t = 0}^3} \over {12}} = 3.900 \cdot 1.000 \cdot {{{{67,2}^3}} \over {12}} = 9,86 \cdot {10^{10}}\;Nm{m^2}$$

**Ermittlung der ideellen Biegesteifigkeit einer Schubkonsole**

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{d,t = \infty }^ *  = {{{K_{u,d,t = \infty }}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{clt}}^3} \right) \cdot b = {{364 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{56,4}^3} + {{80,0}^3}} \right) \cdot 1,00 = 8,39 \cdot {10^{10}}\;Nm{m^2}$$

$${z_{conc}} + {z_{clt}} = 56,4 + 80,0 = 136\;mm$$

== Ermittlung der Schnittkräfte für den quasi-ständig Lastanteil zur Berechnung der kriechwirksamen Spannungen im ULS zum Zeitpunkt t = ∞ ==

Schnittkräfte berechnet mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes (q<sub>perm,d</sub> = 7,88 kN/m)

N<sub>clt,d</sub> = - N<sub>conc,d</sub> = 144 kN

M<sub>conc,d</sub> = 0,810 kNm

M<sub>clt,d</sub> = 20,0 kNm

N<sub>Kerve1,d</sub> = 48,4 kN

N<sub>Kerve2,d</sub> = 44,2 kN

N<sub>Kerve3,d</sub> = 51,0 kN

^  Faser  ^  E<sub>i</sub>  ^  N<sub>d</sub>  ^  E∙A  ^  σ<sub>N</sub>  ^  M<sub>d</sub>  ^  E∙Ι  ^  z<sub>i</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>+σ<sub>M</sub>  ^
^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [kN]  ^  [N]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [kNm]  ^  [Nmm<sup>2</sup>]  ^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^
^  0  |  3.900  |  -144  |  2,62E+08  |  -2,14  |  0,810  |  9,86E+10  |  -33,6  |  -1,08  |  -3,21  |
^  67,2  |  3.900  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  33,6  |  1,08  |  -1,06
^  80  |  6.000  |  144  |  7,20E+08  |  1,20  |  20,1  |  2,45E+12  |  -90,0  |  -4,43  |  -3,23  |
^  260  |  6.000  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  90,0  |  4,43  |  5,62  |

== Ermittlung der Schnittkräfte und Spannungen infolge der unelastischen Verzerrungen des Betons (Schwinden) im ULS, t = ∞ ==

Bemessungswert der effektiven Schwinddehnung

$${\varepsilon _{ef,conc,d}}\left( {t = \infty } \right) = {\gamma _{SH}} \cdot 0,9 \cdot {\varepsilon _{cs,t = \infty }} = 1,35 \cdot 0,9 \cdot \left( { - 0,350} \right) =  - 0,425\;‰$$

Schnittkräfte berechnet mit Hilfe eines Stabwerkprogrammes

N<sub>clt,d</sub> = - N<sub>conc,d</sub> = -33,8 kN

M<sub>conc,d</sub> = 0,180 kNm

M<sub>clt,d</sub> = 4,41 kNm

N<sub>Kerve1,d</sub> = -24,1 kN

N<sub>Kerve2,d</sub> = -7,25 kN

N<sub>Kerve3,d</sub> = -2,47 kN

^  Faser  ^  E<sub>i</sub>  ^  N<sub>d</sub>  ^  E∙A  ^  σ<sub>N</sub>  ^  M<sub>d</sub>  ^  E∙Ι  ^  z<sub>i</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>+σ<sub>M</sub>  ^
^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [kN]  ^  [N]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [kNm]  ^  [Nmm<sup>2</sup>]  ^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^
^  0  |  3.900  |  33,8  |  2,62E+08  |  0,503  |  0,180  |  9,86E+10  |  -33,6  |  -0,239  |  0,264  |
^  67,2  |  3.900  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  33,6  |  0,239  |  0,742  |
^  80  |  6.000  |  -33,8  |  7,20E+08  |  -0,282  |  4,41  |  2,45E+12  |  -90,0  |  -0,973  |  -1,25  |
^  260  |  6.000  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  90,0  |  0,973  |  0,691  |

=== Kräfte und Spannungen nach 3 bis 7 Jahren ===

<WRAP info 100%>
Die Baustoffe Holz und Beton weisen, sowohl was die Quantität, als auch den zeitlichen Verlauf betrifft, unterschiedliches Kriechverhalten auf. Auf das Verbundverhalten der Konstruktion bezogen liegen komplexe Verhältnisse vor, die von mehreren Parametern beeinflusst werden. Neben dem zeitlichen Verhalten des Holzes (Schwinden, Kriechen) und der Verbindung betrifft dies vor allem das Verhalten des Betons, auf welches nachfolgend eingegangen wird.

Der Beton härtet mit der Zeit nach, weiters nehmen die Kriechverformungen bei einem späteren Belastungsbeginn ab. Der Beton entwickelt die Kriechverformungen dabei deutlich rascher (mit einem Maximum nach 3 bis 7 Jahren) als das Holz, sodass kritische bzw. bemessungsrelevante Zwischenzustände in der HBV-Konstruktion entstehen können. Im Bereich des Zeitraumes zwischen 3 und 7 Jahren kriecht der Beton in Relation zum Holz rascher und „entzieht“ sich damit der Belastung. Im Zuge dessen kommt es zu einer Umlagerung der Beanspruchung bzw. der Spannungen auf das Holz, welches damit stärker beansprucht wird. Gleichzeitig tritt mit der Abnahme der Steifigkeit des Betonquerschnitts eine Verringerung von dessen Beanspruchung auf, welche sowohl in einer Reduktion der auftretenden (Verbund-) Normalkraft, als auch der Biegebeanspruchung des Betons resultiert. Über die Verbundmittel (Kerven) sind die Normalkräfte der beiden Verbundpartner gekoppelt, sodass auch die Normalkraft im Holzbauteil abnimmt. Die angesprochene Spannungsumlagerung findet daher vorwiegend über die Biegebeanspruchungszunahme des Holzbauteiles statt. Alle weiteren Schnittgrößen sowie die Kraft in den Kerven weisen __im Allgemeinen__ dann ihr Maximum auf, wenn die Steifigkeiten am Höchsten sind, d. h. im Allgemeinen zum Zeitpunkt t = 0.

Um mögliche ungünstige Beanspruchungen nach einer Zeitdauer von 3 bis 7 Jahren in der Nachweisführung zu berücksichtigen, sind diese, neben jenen zum Zeitpunkt t = 0 und t = ∞, nachzuweisen. Nach ONR CEN/TS 19103:2022 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)], Abschnitt 7.1.2 darf ein detaillierter Nachweis der Spannungen nach 3 bis 7 Jahren entfallen, wenn die Spannungen im Holz zu den Zeitpunkten t = 0 und t = ∞ infolge der quasi-ständigen Einwirkungskombinationen um 25% erhöht werden und der Grenzzustand der Tragfähigkeit im Holzquerschnitt unter den erhöhten Spannungen weiterhin eingehalten ist.
</WRAP>

Überprüfung, ob die Kräfte und Spannungen nach 3 bis 7 Jahren nachzuweisen sind:

zum Zeitpunkt t = 0

- für die quasi-ständige Einwirkungskombination

$${\eta _{clt,perm,d,t = 0}} = {{{\sigma _{clt,t,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,clt,t,0,d}}}} + {{{\sigma _{clt,m,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,clt,m,d}}}} = {{1,51} \over {9,28}} + {{3,02} \over {16,9}} = 0,163 + 0,179 = 0,342$$

- für den kurzzeitig wirkenden Anteil der Einwirkungskombination

$${\eta _{clt,short,d,t = 0}} = {{{\sigma _{clt,t,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,clt,t,0,d}}}} + {{{\sigma _{clt,m,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,clt,m,d}}}} = {{0,503} \over {9,28}} + {{1,01} \over {16,9}} = 0,0542 + 0,0598 = 0,114$$

zum Zeitpunkt t = ∞

- für die quasi-ständige Einwirkungskombination

$${\eta _{clt,perm,d,t = \infty }} = {{{\sigma _{clt,t,d,\,t = \infty }}} \over {{f_{\,clt,t,0,d}}}} + {{{\sigma _{clt,m,d,t = \infty }}} \over {{f_{\,clt,m,d}}}} = {{1,20} \over {9,28}} + {{4,43} \over {16,9}} = 0,129 + 0,262 = 0,391$$

→ ist der Spannungsnachweis für das BSP bei Erhöhung der Spannungen für die quasi-ständige Einwirkungskombination um 25% weiterhin erfüllt, erübrigt sich der Nachweis zum Zeitpunkt t = 3 und 7 Jahre

t=0 

$$1,25 \cdot {\eta _{clt,perm,d;t = 0}} + {\eta _{clt,short,d;t = 0}} = 1,25 \cdot 0,342 + 0,114 = 0,54 < 1$$

t=∞

$$1,25 \cdot {\eta _{clt,perm,d;t = \infty }} + {\eta _{clt,short,d;t = 0}} = 1,25 \cdot 0,391 + 0,114 = 0,60 < 1$$

→ d. h. es sind keine zusätzlichen Zeitpunkte zu betrachten.

=== Zusammenfassung der Spannungen und Kervenkräfte ===

<table tab_zusammenfassung_spannungen>
<caption>Zusammenfassung der Spannungen zu den Zeitpunkten t = 0 und t = ∞</caption>
^  Spg.  ^  Faser  ^  zum Zeitpunkt t = 0  ^^^  Endwert der Spannungsverteilung gemäß TS/CEN 19103, Absch. 4.2 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)]  ^^^^^^^^^
^  :::  ^  :::  ^  aus q<sub>d,t=0</sub>  ^^  Summe σ<sub>N</sub>+σ<sub>M</sub>  ^  aus q<sub>short,d,t=0</sub>  ^^  aus q<sub>perm,d,t=∞</sub>  ^^  aus ε<sub>ef,conc,d,t=∞</sub>  ^^  Summe  ^^  Summe σ<sub>N</sub>+σ<sub>M</sub>  ^
^  :::  ^  :::  ^  σ<sub>N</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  :::  ^  σ<sub>N</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  :::  ^
^  [-]  ^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^
|  σ<sub>conc,o,d</sub>  |  0  |  -3,58  |  -3,57  |  **<fc #ffa500>-7,15</fc>**  |  -0,897  |  -0,894  |  -2,14  |  -1,08  |  0,503  |  -0,239  |  -2,53  |  -2,21  |  **-4,75**  |
|  σ<sub>conc,u,d</sub>  |  67,2  |  :::  |  3,57  |  **0,00**  |  :::  |  0,894  |  :::  |  1,08  |  :::  |  0,239  |  :::  |  2,21  |  **-0,32**  |
|  σ<sub>clt,o,d</sub>  |  80  |  2,01  |  -4,03  |  **-2,02**  |  0,503  |  -1,01  |  1,20  |  -4,43  |  -0,282  |  -0,973  |  **<fc #ffa500>1,42</fc>**  |  -6,41  |  **-4,99**  |
|  σ<sub>clt,u,d</sub>  |  260  |  :::  |  4,03  |  **6,04**  |  :::  |  1,01  |  :::  |  4,43  |  :::  |  0,973  |  :::  |  **<fc #ffa500>6,41</fc>**  |  **7,83**  |
</table>

<table tab_zusammenfassung_kervenkraefte>
<caption>Kräfte in den Kerven</caption>
^  Kerve  ^  zum Zeitpunkt t = 0  ^  Endwert der Kervenkräfte nach TS/CEN 19103, Absch. 4.2 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)]  ^^^^
^  :::  ^  aus q<sub>d,t=0</sub>  ^  aus q<sub>short,d,t=0</sub>  ^  aus q<sub>perm,d,t=∞</sub>  ^  aus ε<sub>ef,conc,d,t=∞</sub>  ^  Summe  ^
^  :::  ^  [kN]  ^  [kN]  ^  [kN]  ^  [kN]  ^  [kN]  ^
|  N<sub>Kerve,1</sub>  |  **80,9**  |  20,3  |  48,4  |  -24,1  |  **44,6**  |
|  N<sub>Kerve,2</sub>  |  **73,4**  |  18,4  |  44,2  |  -7,25  |  **55,4**  |
|  N<sub>Kerve,3</sub>  |  **<fc #ffa500>86,5</fc>**  |  21,7  |  51,0  |  -2,47  |  **70,2**  |
</table>
=== Nachweisführungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit (ULS) ===

<WRAP info 100%>
In diesem Beispiel sind die Querschnittsnachweise für Brettsperrholz und Beton in Feldmitte angeführt. Zusätzlich können die Nachweise in den Bereichen der Kerven bemessungsrelevant werden. Diese werden aus Gründen der Übersichtlichkeit im Folgenden nicht dargestellt.
</WRAP>

== Nachweise Brettsperrholz ==

**Normalspannungsnachweis**

maßgebender Nachweis: Zeitpunkt t = ∞

$${{{\sigma _{clt,t,0,d}}} \over {{f_{\,clt,t,0,d}}}} + {{{\sigma _{clt,m,d}}} \over {{f_{\,clt,m,d}}}} = {{1,42} \over {9,28}} + {{6,41} \over {16,9}} = 0,153 + 0,379 = 0,53 < 1$$

**Schubspannungsnachweise**

<WRAP info 100%>
Das verwendete Stabwerksmodell ist in der angewandten Form nicht in der Lage, die in der Verbundkonstruktion, insbesondere im Bereich des Betonbauteils vor der 1. Kerve, auftretende Querkraft zuverlässig abzubilden. Die Ergebnisse hängen vom gewählten Abstand der starren Koppelstäben ab. Auf der konservativen Seite liegend wird die Querkrafttragfähigkeit der Holz-Beton-Verbund Deckenkonstruktion so nachgewiesen, dass die gesamte Querkraft am Auflager von der BSP-Platte abgetragen wird.
</WRAP>

Bemessungswert der Einwirkung

$${V_{clt,d}} = {q_d} \cdot {l \over 2} = 10,5 \cdot {{6,40} \over 2} = 33,6\;kN$$

statische Momente

- für den Längsschub

$${\left( {{E_i} \cdot S} \right)_{clt,v}} = {E_{clt,0,mean,d}} \cdot b \cdot \left[ {{h_1} \cdot {{\left( {{h_{CLT}} - {h_1}} \right)} \over 2} + {{{h_3}} \over 2} \cdot {{{h_3}} \over 4}} \right] = 9.600 \cdot 1.000 \cdot \left[ {40,0 \cdot {{\left( {180 - 40,0} \right)} \over 2} + {{40,0} \over 2} \cdot {{40,0} \over 4}} \right] = 2,88 \cdot {10^{10}}\;Nmm$$

- für den Rollschub

$${\left( {{E_i} \cdot S} \right)_{clt,r}} = {E_{clt,0,mean.d}} \cdot b \cdot {t_1} \cdot {1 \over 2} \cdot \left( {{h_{CLT}} - {h_1}} \right) = 9.600 \cdot 1.000 \cdot 40,0 \cdot {1 \over 2} \cdot \left( {180 - 40,0} \right) = 2,69 \cdot {10^{10}}\;m{m^3}$$

Schubspannungen

- Längsschubspannung

$${\tau _{clt,v,d}} = {{{V_{clt,A,d}} \cdot {{\left( {E \cdot S} \right)}_{clt,v}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{clt,d,t = 0}} \cdot b}} = {{33,6 \cdot {{10}^3} \cdot 2,88 \cdot {{10}^{10}}} \over {3,92 \cdot {{10}^{12}} \cdot 1.000}} = 0,247\;N/m{m^2}$$

- Rollschubspannung

$${\tau _{clt,r,d}} = {{{V_{clt,A,d}} \cdot {{\left( {E \cdot S} \right)}_{clt,r}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{clt,d,t = 0}} \cdot b}} = {{33,6 \cdot {{10}^3} \cdot 2,69 \cdot {{10}^{10}}} \over {3,92 \cdot {{10}^{12}} \cdot 1.000}} = 0,231\;N/m{m^2}$$

Nachweise

- Längsschubspannung

$${{{\tau _{clt,d}}} \over {{f_{\,clt,v,d}}}} = {{0,247} \over {2,56}} = 0,096 < 1$$

- Rollschubspannung

$${{{\tau _{clt,r,d}}} \over {{f_{\,clt,r,d}}}} = {{0,231} \over {0,704}} = 0,33 < 1$$

== Nachweis Beton ==

Nachweis der Betondruckspannung in Feldmitte

maßgebender Nachweis: Zeitpunkt t = 0

$${{{\sigma _{conc,o,d,t = 0}}} \over {{f_{\,cd}}}} = {{\left| { - 7,15} \right|} \over {23,3}} = 0,31 < 1$$
== Nachweis Verbindung (Kerve) ==

Bemessungswert der Einwirkung

$${F_{v,Ed}} = \max \;{N_{Kerve3,d;t = 0}} = 86,5\;kN$$

Berechnung der minimalen und maximalen Druckstrebenneigung

$$\min \;\Theta  = \max \left\{ {\matrix{
   {\arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {{h_{conc}} + {h_n}} \right)} \over {{l_n} + {l_s}}}} \right)} \hfill  \cr 
   {\arctan \left( {{{{h_n}} \over {{l_n}}}} \right)} \hfill  \cr 

 } } \right. = \max \left\{ {\matrix{
   {\arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {80,0 + 20,0} \right)} \over {200 + 250}}} \right) = 6,34^\circ } \hfill  \cr 
   {\arctan \left( {{{20,0} \over {200}}} \right) = 5,71^\circ } \hfill  \cr 

 } } \right. = 6,34^\circ $$

$$\max \;\Theta  = 45^\circ $$

Bestimmung der Druckstrebenneigung bis zur Abhebesicherung (mit x<sub>screw</sub> = 80,0 mm)

$$\Theta  = \arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {{h_{conc}} + {h_n}} \right)} \over {{l_n} + {x_{screw}}}}} \right) = \arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {80,0 + 20,0} \right)} \over {200 + 80,0}}} \right) = 10,1^\circ $$

gewählt: Θ = 10,0°

Versagensmodi der Kerve

a) Schubversagen Beton

$$\nu  = 0,6 \cdot \left( {1 - {{{f_{\,ck}}} \over {250}}} \right) = 0,6 \cdot \left( {1 - {{35,0} \over {250}}} \right) = 0,516$$

$${f_{\,vcd}} = {{\nu  \cdot {f_{\,cd}}} \over {\cot \theta  + \tan \theta }} = {{0,516 \cdot 23,3} \over {\cot \left( {10,0} \right) + \tan \left( {10,0} \right)}} = 2,06\;N/m{m^2}$$

$${F_{Rd;\,a}} = {f_{\,vcd}} \cdot {b_n} \cdot {l_n} = 2,06 \cdot 1.000 \cdot 200 = 412.000\;N = 412\;kN$$

b) Druckversagen Beton

$${F_{Rd;\,b}} = {f_{\,cd}} \cdot {b_n} \cdot {h_n} = 23,3 \cdot 1.000 \cdot 20,0 = 466.000\;N = 466\;kN$$

c) Schubversagen BSP

$${l_{v,a,calc}} \le 8 \cdot {h_n} = 8 \cdot 20,0 = \underline {160\;mm}  < \min \;{l_{v,a}} = 350\;mm$$

$${F_{Rd;\,c}} = {k_{cr}} \cdot {f_{\,clt,v,d}} \cdot {b_n} \cdot {l_{v,a,calc}} = 1,00 \cdot 2,56 \cdot 1.000 \cdot 160 = 409.600\;N = 410\;kN$$

d) Druckversagen BSP

$${F_{Rd;\,d}} = {f_{\,clt,c,0,d}} \cdot {b_n} \cdot {h_n} = 13,4 \cdot 1.000 \cdot 20,0 = 268.000\;N = 268\;kN$$

Zusammenfassung der Tragfähigkeiten für die jeweiligen Versagensmodi

$${F_{Rd}} = \min \left\{ {\matrix{
   {{F_{Rd;\,a}}}  \cr 
   {{F_{Rd;\,b}}}  \cr 
   {{F_{Rd;\,c}}}  \cr 
   {{F_{Rd;\,d}}}  \cr 

 } } \right. = \min \left\{ {\matrix{
   {412\;kN}  \cr 
   {466\;kN}  \cr 
   {410\;kN}  \cr 
   {268\;kN}  \cr 

 } } \right. = 268\;kN$$

Nachweis der Tragfähigkeit der Kerve

$${{{F_{v,Ed}}} \over {{F_{Rd}}}} = {{86,5} \over {268}} = 0,32 < 1$$

**Nachweis der Abhebesicherung**

$${F_{t,Ed}} = \max \left\{ {\matrix{
   {{F_{v,Ed}} \cdot \tan \theta } \hfill  \cr 
   {0,1 \cdot {F_{v,Ed}}} \hfill  \cr 

 } } \right. = \max \left\{ {\matrix{
   {86,5 \cdot \tan \left( {10,0} \right) = 15,3\;kN} \hfill  \cr 
   {0,1 \cdot 86,5 = 8,65\;kN} \hfill  \cr 

 }  = 15,3\;kN} \right.$$

gewählt: Tellerkopfschraube Ø 8 | 160 mm pro m, l<sub>g</sub> = l<sub>ef</sub> = 100 mm (Gewinde befindet sich vollständig im Brettsperrholz)

Tragfähigkeit einer Schraube auf Herausziehen

$${f_{\,ax,k}} = 0,52 \cdot {d^{ - 0,5}} \cdot {l_{ef}}^{ - 0,1} \cdot {\rho _k}^{0,8} = 0,52 \cdot {8,00^{ - 0,5}} \cdot {100^{ - 0,1}} \cdot {385^{0,8}} = 13,6\;N/m{m^2}$$

$${k_d} = \min \left\{ {{d \over \matrix{
  8 \hfill \cr 
  1 \hfill \cr} }} \right. = \min \left\{ {{{8,00} \over \matrix{
  8 \hfill \cr 
  1 \hfill \cr} } = 1,00} \right. = 1,00$$
  
$${F_{ax,Rd}} = \min \left\{ {\matrix{
   {{{{f_{ax,k}} \cdot d \cdot {l_{ef}} \cdot {k_d}} \over {1,2 \cdot {{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha }} \cdot {{{k_{\bmod }}} \over {{\gamma _{M,Verb}}}}} \hfill  \cr 
   {{A_s} \cdot {{0,9 \cdot {f_{u,k}}} \over {{\gamma _{M\;2}}}}} \hfill  \cr 

 } } \right. = \min \left\{ {\matrix{
   {{{13,6 \cdot 8,00 \cdot 100 \cdot 1,00} \over {1,2 \cdot {{\cos }^2}90,0 + {{\sin }^2}90}} \cdot {{0,80} \over {1,30}}} \hfill  \cr 
   {{{{{\left( {0,65 \cdot 8,00} \right)}^2} \cdot \pi } \over 4} \cdot {{0,9 \cdot 950} \over {1,25}}} \hfill  \cr 

 } } \right. = \min \left\{ {\matrix{
   {6.695\;N} \hfill  \cr 
   {14.526\;N} \hfill  \cr 

 } } \right. = 6,70\;kN$$

Berechnung der erforderlichen Schraubenanzahl pro m

$${{{F_{t,Ed}}} \over {n \cdot {F_{ax,Rd}}}} < 1$$

$$\to n = {{{F_{t,Ed}}} \over {{F_{ax,Rd}}}} = {{15,3} \over {6,70}} = 2,28\;Stk$$

gewählt: 3 Stk pro m | Tellerkopfschraube Ø 8 | 160, l<sub>g</sub> = 100 mm

===== Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (SLS) =====

==== Nachweis der Begrenzung der Anfangsdurchbiegung (t = 0) ====

=== Querschnittswerte – SLS zum Zeitpunkt t = 0 ===

**Querschnittswerte der Brettsperrholzplatte**

$${\left( {E \cdot A} \right)_{clt,inst}} = \sum {\left( {{E_{clt,0,mean,i}} \cdot {A_i}} \right)}  = 3 \cdot 12.000 \cdot 40,0 \cdot 1.000 = 1,44 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{clt,inst}} = \sum {\left( {{E_{clt,0,mean,i}} \cdot b \cdot {{h_i^3} \over {12}}} \right)}  + \sum {\left( {{E_{clt,0,mean,i}} \cdot {A_i} \cdot {e_i}^2} \right)}  = 12.000 \cdot 1.000 \cdot \left[ {3 \cdot {{{{40,0}^3}} \over {12}} + 2 \cdot 40,0 \cdot {{70,0}^2}} \right] = 4,90 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

**Querschnittswerte des gerissenen Betonquerschnittes**

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,inst}} = {E_{cm}} \cdot b \cdot {h_{conc,red}} = 34.000 \cdot 1.000 \cdot 67,2 = 2,28 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,inst}} = {E_{cm}} \cdot b \cdot {{h_{conc,red}^3} \over {12}} = 34.000 \cdot 1.000 \cdot {{{{67,2}^3}} \over {12}} = 8,60 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

**ideelle Biegesteifigkeit einer Schubkonsole**

$${z_{conc}} = {h_{conc}} + {{{h_n} - {h_{red,conc}}} \over 2} = 80,0 + {{20,0 - 67,2} \over 2} = 56,4\;mm$$

$${z_{clt}} = {{{h_{clt}} - {h_n}} \over 2} = {{180 - 20,0} \over 2} = 80,0\;mm$$

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{inst}^ *  = {{{K_{ser}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{clt}}^3} \right) \cdot b = {{1.000 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{56,4}^3} + {{80,0}^3}} \right) \cdot 1,00 = 2,30 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

=== Berechnung und Nachweis der vertikalen Anfangsdurchbiegung ===

Anfangsdurchbiegung für die seltene (charakteristische) Einwirkungskombination q<sub>Ed,rare</sub> = 7,50 kN/m

Durchbiegung berechnet mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes

w<sub>inst</sub> = 8,87 mm

Grenzwert der Anfangsdurchbiegung

$${w_{inst,grenz}} = {l \over {300}} = {{6.400} \over {300}} = 21,3\;mm$$

Nachweis

$${{{w_{inst}}} \over {{w_{inst,grenz}}}} = {{8,87} \over {21,3}} = 0,42 < 1$$

Schnittgrößen berechnet mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes für die Berechnung der nachfolgend berechneten Koeffizienten γ<sub>1</sub> und ψ<sub>conc</sub>:

N<sub>clt,Ed,rare,inst</sub> = 174 kN\\  M<sub>clt,Ed,rare,inst</sub> =12,6 kNm


==== Nachweis der Begrenzung des Maximalbetrags der Enddurchbiegung (t = ∞) ====

=== Ermittlung des Beiwertes zur Berücksichtigung des Systemkriechbeiwertes ===

Schnittgrößen des BSP aufgrund des quasi-ständigen Lastanteiles und SLS-Querschnittswerten (Zustand II) zum Zeitpunkt t = 0

q<sub>Ed,perm</sub> = 5,75 kN/m

N<sub>clt,Ed,perm,inst</sub> = N<sub>clt,Ed,rare,inst</sub> · q<sub>Ed,perm</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 174 · 5,75 / 7,50 = 133 kN

M<sub>clt,Ed,perm,inst</sub> = M<sub>clt,Ed,rare,inst</sub> · q<sub>Ed,perm</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 12,6 · 5,75 / 7,50 = 9,66 kNm

Koeffizient zur Berücksichtigung der Auswirkungen der Verbundwirkungen auf die Kriechzahl des Betonquerschnitts aus (siehe TS, Absch. 7.1.2 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)])

$${\gamma _1} = {{{{\left( {E \cdot A} \right)}_{clt,inst}} \cdot {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{clt,inst}} \cdot {N_{clt,Ed,perm,inst}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,inst}} \cdot \left[ {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{clt,inst}} \cdot {M_{clt,Ed,perm,inst}} \cdot \left( {{z_{conc}} + {z_{clt}}} \right) - {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{clt,inst}} \cdot {N_{clt,Ed,perm,inst}}} \right]}}$$

$$ = {{1,44 \cdot {{10}^9} \cdot 4,90 \cdot {{10}^{12}} \cdot 133 \cdot {{10}^3}} \over {2,28 \cdot {{10}^9} \cdot \left[ {1,44 \cdot {{10}^9} \cdot 9,66 \cdot {{10}^6} \cdot \left( {56,4 + 80,0} \right) - 4,90 \cdot {{10}^{12}} \cdot 133 \cdot {{10}^3}} \right]}} = 0,330$$

$${\psi _{conc}} = 2,0 - 0,5 \cdot {\gamma _1}^{1,9} = 2,0 - 0,5 \cdot {0,330^{1,9}} = 1,94$$

<table tab_steifigkeiten_sls_inf>
<caption>Steifigkeiten und Verschiebungsmodul zum Zeitpunkt t = ∞</caption>
^    ^  BSP  ^  Beton  ^  Kerve  ^
|  t=0  |  E<sub>clt,0,mean,t=0</sub> = 12.000 N/mm<sup>2</sup>  |  E<sub>conc,t=0</sub> = 34.000 N/mm<sup>2</sup>  |  K<sub>u,t=0</sub> = K<sub>ser,t=0</sub> = 1.000 kN/mm/m  |
|  Beiwerte  |  ψ<sub>clt</sub> = 1,00  |  ψ<sub>conc</sub> = 1,94  |  ψ<sub>conn</sub> = 1,00  |
|  Langzeit  |  k<sub>def</sub> = 0,60  |  φ<sub>0</sub> = 2,50  |  k<sub>def</sub>‘ = 2 · k<sub>def</sub> = 2 · 0,60 = 1,20  |
|  t=∞  |  ${E_{clt,0,mean,d,t = \infty }} = {{{E_{clt,0,mean,d,t = 0}}} \over {1 + {\psi _{clt}} \cdot {k_{{\mathop{\rm de}\nolimits} f}}}}$\\  $ = {{12.000} \over {\underbrace {1 + 1,00 \cdot 0,60}_{1,60}}} = 7.500\;N/m{m^2}$  |  ${E_{conc,d,t = \infty }} = {{{E_{conc,d,t = 0}}} \over {1 + {\psi _{conc}} \cdot {\varphi _0}}} = $\\  $ = {{34.000} \over {\underbrace {1 + 1,94 \cdot 2,50}_{ = 5,85}}} = 5.810\;N/m{m^2}$  |  ${K_{u,d,t = \infty }} = {K_{ser,d,t = \infty }} = {{{K_{ser,d,t = 0}}} \over {1 + {\psi _{conn}} \cdot {k_{def}'}}} = $\\  $ = {{1.000} \over {\underbrace {1 + 1,00 \cdot 1,20}_{2,20}}} = 455\;kN/mm/m$  |
</table>
=== Querschnittswerte – SLS zum Zeitpunkt t =∞ ===

**Querschnittswerte der Brettsperrholzplatte**

$${\left( {E \cdot A} \right)_{clt,fin}} = \sum {\left( {{E_{clt,0,mean,fin,i}} \cdot {A_i}} \right)}  = 3 \cdot 7.500 \cdot 40,0 \cdot 1.000 = 9,00 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{clt,fin}} = \sum {\left( {{E_{clt,0,mean,fin,i}} \cdot b \cdot {{h_i^3} \over {12}}} \right)}  + \sum {\left( {{E_{clt,0,mean,fin,i}} \cdot b \cdot {A_i} \cdot {e_i}^2} \right)}  = 7.500 \cdot 1.000 \cdot \left[ {3 \cdot {{{{40,0}^3}} \over {12}} + 2 \cdot 40,0 \cdot {{70,0}^2}} \right] = 3,06 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

**Querschnittswerte des gerissenen Betonquerschnittes**

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,fin}} = {E_{conc,fin}} \cdot b \cdot {h_{conc,red}} = 5.810 \cdot 1.000 \cdot 67,2 = 3,90 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,fin}} = {E_{conc,fin}} \cdot b \cdot {{h_{conc,red}^3} \over {12}} = 5.810 \cdot 1.000 \cdot {{{{67,2}^3}} \over {12}} = 1,47 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

**Ermittlung der ideellen Biegesteifigkeit einer Schubkonsole**

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{fin}^ *  = {{{K_{ser,fin}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{clt}}^3} \right) \cdot b = {{455 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{56,4}^3} + {{80,0}^3}} \right) \cdot 1,00 = 1,05 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$
==== Berechnung und Nachweis der gesamten Enddurchbiegung ====

Durchbiegung aufgrund des quasi-ständigen Einwirkungsanteils (q<sub>Ed,perm</sub> = 5,75 kN/m)

w<sub>perm,fin</sub> = 17,0 mm

Durchbiegung aufgrund des Betonschwindens (zum Zeitpunkt t = ∞)

$${\varepsilon _{conc,fin}} = 0,9 \cdot {\varepsilon _{cs,t = \infty }} = 0,9 \cdot \left( { - 0,350} \right) =  - 0,315\;‰$$

w<sub>SH,fin</sub> = 6,98 mm

Berechnung der gesamten Enddurchbiegung

$${w_{net,fin}} = {w_{perm,fin}} + {w_{SH,fin}} - {w_c} = 17,0 + 6,98 - 0 = 24,0\;mm$$

Grenzwert der Enddurchbiegung

$${w_{net,fin,grenz}} = {l \over {250}} = {{6.400} \over {250}} = 25,6\;mm$$

Nachweis

$${{{w_{net,fin}}} \over {{w_{net,fin,grenz}}}} = {{24,0} \over {25,6}} = 0,94 < 1$$
==== Schwingungsnachweis ===

<WRAP info 100%>
Der Schwingungsnachweis wurde als ingenieurmäßige Beurteilung in Anlehnung an die Festlegungen der ÖNORM B 1995-1-1:2019 geführt. Die Regelungen in diesem Nationalen Anhang - insbesondere die festgelegten Grenzwerte - gelten nicht explizit für HBV-Decken, sondern wurden für Holzdecken entwickelt und kalibriert. Vorliegende Daten ausgeführter Holz-Beton-Verbund Decken wiesen grundsätzlich ein vergleichsweises gutes Schwingungsverhalten auf (siehe Hamm et al. [(:ref:HammEtAl2010)]). Bei HBV-Decken mit besonderen Anforderungen an das Schwingverhalten sollten gegebenenfalls besondere Untersuchungen durchgeführt werden.
</WRAP>

- in Längsrichtung

Rückrechnung der effektiven Steifigkeit in Deckenlängsrichtung aus der Durchbiegungsberechnung zum Zeitpunkt t = 0

mit $w = {5 \over {384}} \cdot {{q \cdot {l^4}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_x}}}$

mit w<sub>inst</sub> = 8,87 mm und q<sub>Ed,rare</sub> = 7,50 kN/m aus dem Nachweis der vertikalen Anfangsdurchbiegung

$$ \to {\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,x}} = {5 \over {384}} \cdot {{q \cdot {l^4}} \over w} = {5 \over {384}} \cdot {{7,50 \cdot {{6.400}^4}} \over {8,87}} = 1,85 \cdot {10^{13}}\;Nm{m^2}$$

Estrich (Annahme h<sub>screed</sub> = 65,0 mm | E<sub>screed</sub> = 25.000 N/mm<sup>2</sup>)

$${\left( {E \cdot I} \right)_{screed}} = {E_{screed}} \cdot {{b \cdot h_{screed}^3} \over {12}} = 25.000 \cdot {{1.000 \cdot {{65,0}^3}} \over {12}} = 5,72 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Summe der Steifigkeiten in Längsrichtung

$${\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,x,ef}} = {\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,x}} + {\left( {E \cdot I} \right)_{screed}} = 1,85 \cdot {10^{13}} + 5,72 \cdot {10^{11}} = 1,91 \cdot {10^{13}}\;Nm{m^2}$$

- in Querrichtung (b<sub>y</sub> = 1,00 m)

Biegesteifigkeit der Brettsperrholzplatte

$${\left( {E \cdot I} \right)_{clt,y}} = {E_{clt,0,mean,inst}} \cdot {b_y} \cdot \left[ {2 \cdot {{{h_y}^3} \over {12}} + 2 \cdot {h_y} \cdot {e_{z,i}}^2} \right] = 12.000 \cdot 1.000 \cdot \left[ {2 \cdot {{{{30,0}^3}} \over {12}} + 2 \cdot 30,0 \cdot {{35,0}^2}} \right] = 9,36 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Biegesteifigkeit des Betons in Querrichtung (Annahme: in Querrichtung bleibt der Beton im Zustand I)

$${\left( {E \cdot I} \right)_{conc,inst,y}} = {E_{cm}} \cdot {{{b_y} \cdot h_{conc}^3} \over {12}} = 34.000 \cdot {{1.000 \cdot {{80,0}^3}} \over {12}} = 1,45 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

$${\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,y,ef}} = {\left( {E \cdot I} \right)_{clt,y}} + {\left( {E \cdot I} \right)_{conc,inst,y}} = 9,36 \cdot {10^{11}} + 1,45 \cdot {10^{12}} = 2,39 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

**Berechnung der 1. Eigenfrequenz**

angenommene Breite des Deckenfeldes: b = 8,00 m

Überprüfung, ob eine Querverteilungswirkung gegeben ist:

$${{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,y,ef}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}}}} = {{2,39 \cdot {{10}^{12}}} \over {1,91 \cdot {{10}^{13}}}} = 0,125 > 0,05$$

→ gemäß ÖNORM B 1995-1-1:2019 [(:ref:on_b_1995_1_1_2019)] kann die Querverteilungswirkung berücksichtigt werden.

$${f_1} = {\pi  \over {2 \cdot {l^2}}} \cdot \sqrt {{{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}}} \over m}}  \cdot \sqrt {1 + {{\left( {{l \over b}} \right)}^4} \cdot {{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,y,ef}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}}}}}  = {\pi  \over {2 \cdot {{6,40}^2}}} \cdot \sqrt {{{1,91 \cdot {{10}^{13}} \cdot {{10}^{ - 6}}} \over {500}}}  \cdot \sqrt {1 + {{\left( {{{6,40} \over {8,00}}} \right)}^4} \cdot {{2,39 \cdot {{10}^{12}}} \over {1,91 \cdot {{10}^{13}}}}}  = 7,50 \cdot 1,03 = 7,73\;Hz$$

$${f_{1,\min }} \le {f_1} < {f_{gr}} \to 4,50 < 7,73 < 8,00\;Hz$$

→ es sind das „Steifigkeitskriterium“ und die „Schwingbeschleunigung“ nachzuweisen

**Nachweis des Steifigkeitskriteriums**

$${b_F} = \min \left\{ \matrix{
  Deckenbreite\;b \hfill \cr 
  {l \over {1,1}} \cdot \root 4 \of {{{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,y,ef}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}}}}}  \hfill \cr}  \right. = \min \left\{ \matrix{
  8,00 \hfill \cr 
  {{6,40} \over {1,1}} \cdot \root 4 \of {{{2,39 \cdot {{10}^{12}}} \over {1,91 \cdot {{10}^{13}}}}}  \hfill \cr}  \right. = 3,46\;m$$

$${w_{stat}} = {{F \cdot {l^3}} \over {48 \cdot {{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}} \cdot {b_F}}} = {{1,00 \cdot {{6,40}^3}} \over {48 \cdot 1,91 \cdot {{10}^{13}} \cdot 3,46}} \cdot {10^{12}} = 0,0826\;mm < 0,25\;mm$$

→ das Steifigkeitskriterium ist erfüllt

**Nachweis der Schwingbeschleunigung**

$${M^*} = m \cdot {l \over 2} \cdot {b \over 2} = 500 \cdot {{6,40} \over 2} \cdot {{8,00} \over 2} = 6400\;kg$$

$$\alpha  = {e^{ - 0,4 \cdot {f_1}}} = {e^{ - 0,4 \cdot 7,73}} = 0,0454$$

mit dem angenommenen Dämpfungsgrad ξ = 0,035

$${a_{rms}} = {{0,4 \cdot \alpha  \cdot {F_0}} \over {2 \cdot \xi  \cdot {M_0}}} = {{0,4 \cdot 0,0454 \cdot 700} \over {2 \cdot 0,035 \cdot 6.400}} = 0,0284\;m/{s^2} < {a_{gr}} = 0,05\;m/{s^2}$$

→ das Beschleunigungkriterium ist erfüllt.

**Zusammenfassung**

Die HBV-Decke erfüllt hinsichtlich des Schwingungsverhaltens die Anforderungen an die Deckenklasse I gemäß ÖNORM B 1995-1-1:2019 [(:ref:on_b_1995_1_1_2019)].

===== Nachweis für eine Feuerwiderstandsdauer R 90 =====

{{page> hbv:examples:clt_concrete_composite:fire&noheader&inline&permalink}}