Brand [bspwiki.at]

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====== Brand ======

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Für Holz-Beton-Verbund-Konstruktionen im Brandfall liegen derzeit keine normativen Vorgaben hinsichtlich der Bemessung in dieser außergewöhnlichen Lastfallkombination vor.

Als ingenieurmäßiger Ansatz werden die Schnittkraftberechnung sowie die Nachweise der Komponenten (BSP, Beton und Verbindung) für eine HBV-Flachdeckenkonstruktion näherungsweise analog zu den Berechnungen bei „kalt“ durchgeführt. Es werden hierbei die Ansätze des „Zero-Strength Layers“ bei Holz sowie das Verfahren der „500°C–Isotherme“ bei Beton verfolgt.

Da der Brand im Laufe der Lebensdauer des Gebäudes auftreten kann, werden die Grenzfälle, die Zeitpunkte t=0 und t=∞, betrachtet.
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**außergwöhnliche Lastfallkombination im Brandfall**

$${q_{d,fi}} = \left( {\sum {{g_{k,j}}}  + \sum {{\psi _{2,i}} \cdot {q_{k,i}}} } \right) \cdot b = \left( {\left( {3,00 + 2,00} \right) + 0,30 \cdot 2,50} \right) \cdot 1,00 = 5,75\;kN/m$$

===== Festigkeitskennwerte im Brandfall =====

==== Brettsperrholz (BSP) ====

Festigkeitskennwerte nach ÖNORM B 1995-1-2:2011 [(:ref:on_b_1995_1_2_2011)]

$${f_{clt,m,d,fi}} = {k_{fi}} \cdot {k_{\bmod ,fi}} \cdot {{{f_{clt,m,k}}} \over {{\gamma _{M,fi}}}} = 1,15 \cdot 1,00 \cdot {{26,4} \over {1,00}} = 30,4\;N/m{m^2}$$

$${f_{clt,c,0,d,fi}} = {k_{fi}} \cdot {k_{\bmod ,fi}} \cdot {{{f_{clt,c,0,k}}} \over {{\gamma _{M,fi}}}} = 1,15 \cdot 1,00 \cdot {{21,0} \over {1,00}} = 24,2\;N/m{m^2}$$

$${f_{clt,t,0,d,fi}} = {k_{fi}} \cdot {k_{\bmod ,fi}} \cdot {{{f_{clt,t,0,k}}} \over {{\gamma _{M,fi}}}} = 1,15 \cdot 1,00 \cdot {{14,5} \over {1,00}} = 16,7\;N/m{m^2}$$

$${f_{clt,v,d,fi}} = {k_{fi}} \cdot {k_{\bmod ,fi}} \cdot {{{f_{clt,v,k}}} \over {{\gamma _{M,fi}}}} = 1,15 \cdot 1,00 \cdot {{4,00} \over {1,00}} = 4,60\;N/m{m^2}$$

$${f_{clt,r,d,fi}} = {k_{fi}} \cdot {k_{\bmod ,fi}} \cdot {{{f_{clt,r,k}}} \over {{\gamma _{M,fi}}}} = 1,15 \cdot 1,00 \cdot {{1,10} \over {1,00}} = 1,27\;N/m{m^2}$$

==== Beton ====

gemäß ÖNORM EN 1992-1-2:2019 [(:ref:on_en_1992_1_2_2019)]

$${f_{cd,fi}} = {{{f_{cd}}} \over {{\gamma _{M,fi}}}} = {{35,0} \over {1,00}} = 35,0\;N/m{m^2}$$

===== Berechnung der effektiven Querschnittsabmessungen =====

**Berechnung der Abbrandtiefe**

Verwendeter Klebstoff: PU (nicht hochtemperaturbeständig) → Anwendung Treppenmodell (Abfallen von verkohlten Schichten an der Klebefuge, doppelte Abbrandrate bis zu einem Abbrand von 25 mm)

Abbrandrate: β = 0,65 mm/min

1. Schicht (h<sub>1</sub> = 40,0 mm)

$${t_{1,PU}} = {{{h_1}} \over \beta } = {{40,0} \over {0,65}} = 61,5\;\min $$

$${d_{char,1,PU}} = {h_1}$$

2. Schicht (h<sub>2</sub> = 30,0 mm)

$${t_{2,25\;mm,PU}} = {{25,0} \over \beta } = {{25,0} \over {1,30}} = 19,2\;\min $$

$${t_{2,PU}}  = {t_{2,25\;mm,PU}} + {{{h_2} - 25,0} \over \beta } = 19,2 + \underbrace {{{30,0 - 25,0} \over {0,65}}}_{7,69} = 26,9\;\min$$

3. Schicht (h<sub>3</sub> = 40,0 mm)

$${t_{3,PU}} = t - {t_{1,PU}} - {t_{2,PU}} = 90 - 61,5 - 26,9 = 1,60\;\min $$

$${d_{char,3,PU}} = {t_{3,PU}} \cdot \beta  = 1,60 \cdot 1,30 = 2,08\;mm$$

Bemessungswert der Abbrandtiefe

$$\sum {{d_{char,i,PU}}}   = {d_{char,1,PU}} + {d_{char,2,PU}} + {d_{char,3,PU}} = 40,0 + 30,0 + 2,08 = 72,1\;mm$$

„zero-strength layer“

$$d_0 = 7,00 \;mm$$

ideelle Abbrandtiefe

$$d_{ef,PU} = \sum {{d_{char,i,PU}}}  + {k_0} \cdot {d_0} = 72,1 + 1,00 \cdot 7,00 = 79,1\;mm$$

{{ :hbv:examples:clt_concrete_composite:fire:abbrandtiefe.png?350 |Abbrandtiefe}}

<WRAP info 100%>
Die Verfasser vertreten die Meinung, dass im Fall der außergewöhnlichen Einwirkung Brand mindestens zwei Lagen des Brettsperrholz-Querschnittes in Hauptrichtung verbleiben sollten, wobei die Dicke der Lage auf der brandbeanspruchten Seite mindestens 6 mm betragen soll, um ein Verbundverhalten der Flachdecken-Konstruktion sicherzustellen. Aus Schmid et al. [(:ref:SchmidEtAl2016)] (Seite 61) kann entnommen werden, dass nach der Abbrandtiefe d<sub>char</sub> plus 40 mm die 20°C-Isotherme des Holzes erreicht ist. Somit kann bei üblichen HBV-Flachdecken aus vollflächigen BSP angenommen werden, dass der Beton in seinen Festigkeits- und Steifigkeitseigenschaften und jene der Kerve nicht beeinflusst wird und mit den „kalten“ Eigenschaften gerechnet werden kann.
</WRAP>

{{ :hbv:examples:clt_concrete_composite:fire:temperaturverlauf.png?350 |Temperaturverlauf}}

Darstellung des Temperaturverlaufs über die Höhe des HBV-Elements unter den oben genannten Randbedingungen → Kerve und Beton bleiben „kalt“

**Berechnung der Querschnittwerte BSP**

$${E_{clt,d,fi}} = {k_{fi}} \cdot {{{E_{0,05}}} \over {{\gamma _{M,fi}}}} = 1,15 \cdot {{5/6 \cdot 12.000} \over {1,00}} = 11.500\;N/m{m^2}$$

Schwerpunkt (Berechnung von der Oberkante)

$${x_{s,fi}} = {{\sum {{A_i} \cdot {x_i}} } \over {\sum {{A_i}} }} = {{1.000 \cdot \left( {40,0 \cdot 20,0 + 30,9 \cdot \left( {40,0 + 30,0 + 0,5 \cdot 30,9} \right)} \right)} \over {1.000 \cdot \left( {40,0 + 30,9} \right)}} = 48,5\;mm$$

$${\left( {E \cdot A} \right)_{clt,d,fi}} = \sum {\left( {{E_{clt,d,fi}} \cdot {A_i}} \right)}  = 11.500 \cdot 1.000 \cdot \left( {40,0 + 30,9} \right) = 8,15 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot I} \right)_{clt,d,fi}}  = {E_{clt,d,fi}} \cdot b \cdot \left[ {\sum {\left( {{{{h_i}^3} \over {12}}} \right)}  + \sum {\left( {{h_i} \cdot {{({x_{s,fi}} - {x_i})}^2}} \right)} } \right] = 11.500 \cdot 1.000 \cdot \left[ {{{{{40,0}^3} + {{30,9}^3}} \over {12}} + 40,0 \cdot {{\left( {48,5 - 20,0} \right)}^2} + 30,9 \cdot {{\left( {48,5 - 85,5} \right)}^2}} \right] = 9,50 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

**Berechnung der Querschnittswerte Beton (Zustand I)**

$${E_{conc,d,fi}} = {{{E_{cm}}} \over {{\gamma _{M,fi}}}} = {{34.000} \over {1,00}} = 34.000\;N/m{m^2}$$

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,fi}} = {E_{conc,d,fi}} \cdot b \cdot {h_{conc}} = 34.000 \cdot 1.000 \cdot 80,0 = 2,72 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot I} \right)_{conc,d,fire}} = {E_{conc,d,fi}} \cdot {{b \cdot h_{conc}^3} \over {12}} = 34.000 \cdot {{1.000 \cdot {{80,0}^3}} \over {12}} = 1,45\; \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

**Kerve**

$${K_{fi}} = {\eta _{K,fi}} \cdot {K_{ser}} = 1,0 \cdot 1.000 = 1.000\;kN/mm/m$$

$${z_{clt,fi}} = {x_{s,fi}} - {{{h_n}} \over 2} = 48,5 - {{20,0} \over 2} = 38,5\;mm$$

$${z_{conc,fi}} = {{\left( {{h_{conc}} + {h_n}} \right)} \over 2} = {{\left( {80,0 + 20,0} \right)} \over 2} = 50,0\;mm$$

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{fi}^ *  = {{{K_{fi}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc,fi}}^3 + {z_{clt,fi}}^3} \right) = {{1.000 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{50,0}^3} + {{38,5}^3}} \right) = 6,07 \cdot {10^{10}}\;Nm{m^2}$$

===== Rissiteration zur Bestimmung der Steifigkeiten des Betons im gerissenen Zustand =====

Berechnung der Schnittkräfte mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes mit den oben angeführten Querschnitts- und Kervensteifigkeiten und der außergewöhnlichen Einwirkungskombination q<sub>Ed,fi</sub>= 5,75 kN/m zur Ermittlung der Risstiefe um somit die Umlagerung der Schnittkräfte vom Betonquerschnitt auf den Brettsperrholzquerschnitt zu berücksichtigen.

<table tab_steifigkeiten_iteration>
<caption>aus den Iterationsschritten resultierende Dehn- und Biegesteifigkeiten sowie Biegesteifigkeit der Schubkonsole mit den zugehörigen Abmessungen</caption>
^  Iteration #  ^  h<sub>conc</sub>  ^  (E∙Ι)<sub>conc,fi</sub>  ^  (E∙A)<sub>conc,fi</sub>  ^  z<sub>conc,fi</sub>  ^  z<sub>clt,fi</sub>  ^  z<sub>conc,fi</sub>+z<sub>clt,fi</sub>  ^  (E∙Ι)<sup>*</sup>  ^
^  :::  ^  [mm]  ^  [Nmm<sup>2</sup>]  ^  [N]  ^  [mm]  ^  [mm]  ^  [mm]  ^  [Nmm<sup>2</sup>]  ^
^  0  |  80,0  |  1,45E+12  |  2,72E+09  |  50,0  |  38,5  |  88,5  |  6,07E+10  |
^  1  |  52,8  |  4,17E+11  |  1,80E+09  |  63,6  |  :::  |  102  |  1,05E+11  |
^  2  |  42,9  |  2,24E+11  |  1,46E+09  |  68,6  |  :::  |  107  |  1,27E+11  |
^  3  |  40,1  |  1,82E+11  |  1,36E+09  |  70,0  |  :::  |  109  |  1,33E+11  |
^  4  |  39,3  |  1,72E+11  |  1,34E+09  |  70,3  |  :::  |  109  |  1,35E+11  |
^  5  |  39,1  |  1,69E+11  |  1,33E+09  |  70,5  |  :::  |  109  |  1,36E+11  |
</table>

<table tab_schnittekraefte_iteration>
<caption>Schnittkräfte aus den Iterationsschritten mit der überdrückten Betonhöhe h<sub>conc,red</sub></caption>
^  Iteration #  ^  Zustand Beton  ^  N<sub>conc,fi</sub>  ^  M<sub>conc,fi</sub>  ^  N<sub>clt,fi</sub>  ^  M<sub>clt,fi</sub>  ^  Kerve 1  ^  Kerve 2  ^  Kerve 3  ^  h<sub>conc,red</sub>  ^
^  :::  ^  :::  ^  [kN]  ^  [kNm]  ^  [kN]  ^  [kNm]  ^  [kN]  ^  [kN]  ^  [kN]  ^  [mm]  ^
^  0  |  ZΙ  |  -187  |  7,77  |  187  |  5,1  |  62,7  |  56,4  |  67,8  |  52,8  |
^  1  |  ZΙI  |  -199  |  2,79  |  199  |  6,4  |  66,3  |  57,3  |  74,9  |  42,9  |
^  2  |  :::  |  -196  |  1,62  |  196  |  6,9  |  65,6  |  56,5  |  74,1  |  40,1  |
^  3  |  :::  |  -193  |  1,34  |  193  |  7,0  |  64,6  |  55,9  |  72,9  |  39,3  |
^  4  |  :::  |  -193  |  1,28  |  193  |  7,1  |  64,5  |  55,9  |  72,9  |  39,1  |
^  5  |  :::  |  -193  |  1,26  |  193  |  7,07  |  64,4  |  55,8  |  72,8  |  39,1  |
</table>

**Kontrolle Dekompression**

Aus dem 5. Iterationsschritt ergibt sich eine reduzierte überdrückte Betonhöhe von h<sub>conc,red</sub> = 39,1 mm. Die Kontrolle der Dekompression wird über die Berechnung der Normalspannungen in der Faser z<sub>i</sub> = h<sub>conc,red</sub> / 2 = 39,1 / 2 mm geführt.

$$\sigma = \left[ {{{{N_{conc,fi}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,fi}}}} + {{{M_{conc,fi}}} \over {{{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{conc,fi}}}} \cdot z} \right] \cdot {E_{conc,fi}}= \left[ {{{ - 193 \cdot {{10}^3}} \over {1,33 \cdot {{10}^9}}} + {{1,26 \cdot {{10}^6}} \over {1,69 \cdot {{10}^{11}}}} \cdot {{39,1} \over 2}} \right] \cdot 34.000 =  - 4,93 + 4,96 \approx 0\;N/m{m^2}$$

**Schnittkräfte und Spannungen**

^    ^  außergewöhnliche Einwirkungskombination mit q<sub>Ed,fi</sub> = 5,75 kN/m  ^^^^^^^^^
^  Faser  ^  E  ^  N<sub>d</sub>  ^  E⋅A  ^  σ<sub>N</sub>  ^  M<sub>d</sub>  ^  E∙Ι  ^  z<sub>i</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>+σ<sub>M</sub>  ^
^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [kN]  ^  [N]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [kNm]  ^  [Nmm<sup>2</sup>]  ^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^
^  0  |  34.000  |  -193  |  1,33E+09  |  -4,93  |  1,26  |  1,690E+11  |  -19,6  |  -4,96  |  -9,89  |
^  39,1  |  34.000  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  19,6  |  4,96  |  0,0  |
^  80  |  11.500  |  193  |  8,15E+08  |  2,72  |  7,07  |  9,50E+11  |  -48,5  |  -4,15  |  -1,43  |
^  181  |  11.500  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  52,5  |  4,49  |  7,22  |

===== Schnittkräfte mit Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = ∞ =====

==== Ermittlung des Beiwertes zur Berücksichtigung des Systemkriechverhaltens ====

Koeffizient zur Berücksichtigung der Auswirkungen der Verbundwirkungen auf die Kriechzahl des Betonquerschnitts aus (siehe TS, Absch. 7.1.2 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)])

$${\gamma _1}  = {{{{\left( {E \cdot A} \right)}_{clt,d,fi,t = 0}} \cdot {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{clt,d,fi,t = 0}} \cdot {N_{clt,fi}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,d,fi,t = 0}} \cdot \left[ {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{clt,d,fi,t = 0}} \cdot {M_{clt,fi}} \cdot \left( {{z_{conc,fi}} + {z_{clt,fi}}} \right) - {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{clt,d,fi,t = 0}} \cdot {N_{clt,fi}}} \right]}} =$$

$${{8,15 \cdot {{10}^8} \cdot 9,50 \cdot {{10}^{11}} \cdot 193 \cdot {{10}^3}} \over {1,33 \cdot {{10}^9} \cdot \left[ {8,15 \cdot {{10}^8} \cdot 7,07 \cdot {{10}^6} \cdot \left( {70,5 + 38,5} \right) - 9,50 \cdot {{10}^{11}} \cdot 193 \cdot {{10}^3}} \right]}} = 0,253$$

Koeffizient zur Berücksichtigung der Auswirkungen der Verbundwirkungen auf die Kriechzahl des Betonquerschnitts aus Tab. 7.1 ONR
CEN/TS 19103:2022 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)]

mit φ= 2,50 und k<sub>def</sub> = 0,60

$${\psi _{conc,fi}} = 2,0 - 0,5 \cdot {\gamma _1}^{1,9} = 2,0 - 0,5 \cdot {0,253^{1,9}} = 1,96$$

<table tab_stiffness_inf>
<caption> Steifigkeiten und Verschiebungsmodul zum Zeitpunkt t = ∞ </caption>
^    ^  BSP  ^  Beton  ^  Kerve  ^
|  t=0  |  E<sub>clt,d,fi</sub> = 11.500 N/mm<sup>2</sup>  |  E<sub>conc,d,fi</sub> = 34.000 N/mm<sup>2</sup>  |  K<sub>u,fi</sub> = K<sub>ser,fi</sub> = 1.000 kN/mm/m  |
|  Beiwerte  |  ψ<sub>clt</sub> = 1,00  |  ψ<sub>conc</sub> = 1,96  |  ψ<sub>conn</sub> = 1,00  |
|  Langzeit  |  k<sub>def</sub> = 0,60  |  φ<sub>0</sub> = 2,50  |  k<sub>def</sub>‘ = 2⋅k<sub>def</sub> = 2⋅0,60 = 1,20  |
|  t=∞  |  ${E_{clt,d,fi,t = \infty }} = {{{E_{clt,d,fi}}} \over {1 + {\psi _{clt}} \cdot {k_{{\mathop{\rm de}\nolimits} f}}}}$\\  $ = {{11.500} \over {\underbrace {1 + 1,00 \cdot 0,60}_{1,60}}} = 7.188\;N/m{m^2}$  |  ${E_{conc,d,fi,t = \infty }} = {{{E_{conc,d,fi}}} \over {1 + {\psi _{conc}} \cdot {\varphi _0}}} = $\\  $ = {{34.000} \over {\underbrace {1 + 1,96 \cdot 2,50}_{ = 5,90}}} = 5.760\;N/m{m^2}$  |  ${K_{u,fi,t = \infty }} = {K_{ser,fi,t = \infty }} = {{{K_{ser,fi}}} \over {1 + {\psi _{conn}} \cdot {k_{def}'}}} = $\\  $ = {{1.000} \over {\underbrace {1 + 1,00 \cdot 1,20}_{2,20}}} = 455\;kN/mm/m$  |
</table>

==== Ermittlung der Schnittkräfte mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = ∞ ====

**Querschnittswerte der Brettsperrholzplatte**

$${\left( {E \cdot A} \right)_{clt,d,fi,t = \infty }} = \sum {\left( {{E_{clt,d,fi,t = \infty }} \cdot {A_i}} \right)}  = 7.188 \cdot 1.000 \cdot (40,0 + 30,9) = 5,10 \cdot {10^8}\;N$$

Schwerpunkt (Berechnung von der Oberkante)

$${x_{s,fi}} = {{\sum {{A_i} \cdot {x_i}} } \over {\sum {{A_i}} }} = {{1.000 \cdot \left( {40,0 \cdot 20,0 + 30,9 \cdot \left( {40,0 + 30,0 + 0,5 \cdot 30,9} \right)} \right)} \over {1.000 \cdot \left( {40,0 + 30,9} \right)}} = 48,5\;mm$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{clt,d,fi,t = \infty }}  = {E_{clt,d,fi,t = \infty }} \cdot b \cdot \left[ {\sum {\left( {{{{h_i}^3} \over {12}}} \right)}  + \sum {\left( {{h_i} \cdot {e_i}^2} \right)} } \right]=$$

$$ = 7.188 \cdot 1.000 \cdot \left[ {{{{{40,0}^3} + {{30,9}^3}} \over {12}} + 40,0 \cdot {{\left( {48,5 - 20,0} \right)}^2} + 30,9 \cdot {{\left( {48,5 - 85,5} \right)}^2}} \right] = 5,94 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

**Berechnung der Querschnittswerte Beton**

mit der gerissenen Höhe h<sub>conc,red,fi</sub> = 39,1 mm

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,fi,t = \infty }} = {E_{conc,d,fi,t = \infty }} \cdot b \cdot {h_{conc,red,fi}} = 5.760 \cdot 1.000 \cdot 39,1 = 2,25 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,d,fi,t = \infty }} = {E_{conc,d,fi,t = \infty }} \cdot b \cdot {{h_{conc,red,fi}^3} \over {12}} = 5.760 \cdot 1.000 \cdot {{{{39,1}^3}} \over {12}} = 2,87 \cdot {10^{10}}\;N/m{m^2}$$

**ideelle Biegesteifigkeit de Schubkonsole**

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{d,fi,t = \infty }^ *  = {{{K_{fi}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc,fi}}^3 + {z_{clt,fi}}^3} \right) \cdot b = {{455 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{70,5}^3} + {{38,5}^3}} \right) \cdot 1,00 = 6,18 \cdot {10^{10}}\;Nm{m^2}$$

$${z_{conc,fi}} + {z_{clt,fi}} = 70,5 + 38,5 = 109\;mm$$

=== Ermittlung der Schnittkräfte für den quasi-ständig Lastanteil q<sub>d,fi</sub>=5,75 kN/m zur Berechnung der kriechwirksamen Spannungen im ULS, t = ∞ ===

Schnittkräfte berechnet mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes

N<sub>clt,d</sub> = - N<sub>conc,d</sub> = 168 kN

M<sub<conc,d</sub> = 0,51 kNm

M<sub>clt,d</sub> = 10,5kNm

N<sub>Kerve1,d</sub> = 56,1 kN

N<sub>Kerve2,d</sub> = 51,2 kN

N<sub>Kerve3,d<sub> = 60,7 kN

^  Faser  ^  E<sub>i</sub>  ^  N<sub>d</sub>  ^  E∙A  ^  σ<sub>N</sub>  ^  M<sub>d</sub>  ^  E∙Ι  ^  z<sub>i</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>+σ<sub>M</sub>  ^
^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [kN]  ^  [N]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [kNm]  ^  [Nmm<sup>2</sup>]  ^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^
^  0  |  5.760  |  -168  |  2,25E+08  |  -4,30  |  0,510  |  2,87E+10  |  -19,6  |  -2,00  |  -6,30  |
^  39,1  |  5.760  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  19,6  |  2,00  |  -2,04  |
^  80  |  7.188  |  168  |  5,10E+08  |  2,368  |  10,5  |  5,94E+11  |  -48,5  |  -6,16  |  -3,79  |
^  181  |  7.188  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  52,5  |  6,67  |  9,04  |

=== Ermittlung der Schnittkräfte und Spannungen infolge der unelastischen Verzerrungen des Betons (Schwinden) im ULS, t = ∞ ===

Bemessungswert der effektiven Schwinddehnung

$${\varepsilon _{ef,conc,d,fi}}\left( {t = \infty } \right) = {\gamma _{SH,fi}} \cdot 0,9 \cdot {\varepsilon _{cs,t = \infty }} = 1,00 \cdot 0,9 \cdot \left( { - 0,350} \right) =  - 0,315\;‰$$

Schnittkräfte berechnet mit Hilfe eines Stabwerkprogrammes

N<sub>clt,d</sub> = - N<sub>conc,d</sub> = -12,6kN

M<sub>conc,d</sub> = 0,06 kNm

M<sub>clt,d</sub> = 1,26 kNm

N<sub>Kerve1,d</sub> = -9,25 kN

N<sub>Kerve2,d</sub> = -2,59 kN

N<sub>Kerve3,d</sub> = -0,790 kN

^  Faser  ^  E<sub>i</sub>  ^  N<sub>d</sub>  ^  E∙A  ^  σ<sub>N</sub>  ^  M<sub>d</sub>  ^  E∙Ι  ^  z<sub>i</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>+σ<sub>M</sub>  ^
^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [kN]  ^  [N]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [kNm]  ^  [Nmm<sup>2</sup>]  ^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^
^  0  |  5.760  |  12,6  |  2,25E+08  |  0,323  |  0,060  |  2,87E+10  |  -19,6  |  -0,235  |  0,087  |
^  39,1  |  5.760  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  19,6  |  0,235  |  0,558  |
^  80  |  7.188  |  -12,6  |  5,10E+08  |  -0,178  |  1,26  |  5,94E+11  |  -48,5  |  -0,739  |  -0,917  |
^  181  |  7.188  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  52,5  |  0,800  |  0,623  |

==== Zusammenfassung der Spannungen und Kervenkräfte ====

<table tab_zusammenfassung_spannungen>
<caption>Zusammenfassung der Spannungen zu den Zeitpunkten t = 0 und t = ∞</caption>
^  Spg.  ^  Faser  ^  zum Zeitpunkt t = 0  ^^^  Endwert der Spannungsverteilung gemäß TS/CEN 19103, Absch. 4.2 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)]  ^^^^^^^
^  :::  ^  :::  ^  aus q<sub>d,fi</sub>  ^^  Summe σ<sub>N</sub>+σ<sub>M</sub>  ^  aus q<sub>d,fi</sub>  ^^  aus ε<sub>ef,conc,d,t=∞</sub>  ^^  Summe  ^^  Summe σ<sub>N</sub>+σ<sub>M</sub>  ^
^  :::  ^  :::  ^  σ<sub>N</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  :::  σ<sub>N</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  :::  ^
^  [-]  ^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [[N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^
|  σ<sub>conc,o,d</sub>  |  0  |  -4,93  |  -4,96  |  **<fc #ffa500>-9,89</fc>**  |  -4,30  |  -2,00  |  0,323  |  -0,235  |  -3,98  |  -2,24  |  **-6,21**  |
|  σ<sub>conc,u,d</sub>  |  39,1  |  :::  |  4,96  |  **0,02**  |  :::  |  2,00  |  :::  |  0,235  |  :::  |  2,24  |  **-1,74**  |
|  σ<sub>clt,o,d</sub>  |  80  |  2,72  |  -4,15  |  **-1,43**  |  2,37  |  -6,16  |  -0,178  |  -0,739  |  **<fc #ffa500>2,19</fc>**  |  -6,90  |  **-4,71**  |
|  σ<sub>clt,u,d</sub>  |  181  |  :::  |  4,49  |  **7,22**  |  :::  |  6,67  |  :::  |  0,800  |  :::  |  **<fc #ffa500>7,47</fc>**  |  **9,66**  |
</table>

<table tab_zusammenfassung_kervenkraefte>
<caption>Kräfte in den Kerven</caption>
^  Kerve  ^  zum Zeitpunkt t = 0  ^  Endwert der Kervenkräfte nach TS/CEN 19103, Absch. 4.2 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)]  ^^^
^  :::  ^  aus q<sub>d,t=0</sub>  ^  aus q<sub>perm,d,t=∞</sub>  ^  aus ε<sub>ef,conc,d,t=∞</sub>  ^  Summe  ^
^  :::  ^  [kN]  ^  [kN]  ^  [[kN]  ^  [kN]  ^
|  N<sub>Kerve,1</sub>  |  **64,4**  |  56,1  |  -9,25  |  **46,9**  |
|  N<sub>Kerve,2</sub>  |  **55,8**  |  51,2  |  -2,59  |  **48,6**  |
|  N<sub>Kerve,3</sub>  |  **<fc #ffa500>72,8</fc>**  |  60,7  |  -0,790  |  **59,9**  |
</table>

===== Nachweisführungen für den Brandfall =====

==== Nachweise Brettsperrholz ====

**Normalspannungsnachweis**

maßgebender Nachweis: Zeitpunkt t = ∞

$${{{\sigma _{clt,t,0,d,fi}}} \over {{f_{\,clt,t,0,d,fi}}}} + {{{\sigma _{clt,m,d,fi}}} \over {{f_{\,clt,m,d,fi}}}} = {{2,19} \over {16,7}} + {{7,47} \over {30,4}} = 0,131 + 0,245 = 0,38 < 1$$

==== Nachweis Beton ====

**Nachweis der Betondruckspannung in Feldmitte**

maßgebender Nachweis: Zeitpunkt t = 0

$${{{\sigma _{conc,o,d,fi;t = 0}}} \over {{f_{\,cd,fi}}}} = {{\left| { - 9,89} \right|} \over {35,0}} = 0,28 \le 1$$

==== Nachweis Verbindung ====

Bemessungswert der Einwirkung

$${F_{v,Ed,fi}} = \max \;{N_{Kerve3,d;t = 0,fi}} = 72,8\;kN$$

**Nachweis der Kerve**

Druckstrebenneigung

$$\min \;\theta  = \max \left\{ {\matrix{
   {\arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {{h_{conc}} + {h_n}} \right)} \over {{l_n} + {l_s}}}} \right)} \hfill  \cr 
   {\arctan \left( {{{{h_n}} \over {{l_n}}}} \right)} \hfill  \cr 

 } } \right. = \max \left\{ {\matrix{
   {\arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {80,0 + 20,0} \right)} \over {200 + 250}}} \right) = 6,34^\circ } \hfill  \cr 
   {\arctan \left( {{{20,0} \over {200}}} \right) = 5,71^\circ } \hfill  \cr 

 } } \right. = 6,34^\circ $$

$$\max \;\theta  = 45^\circ $$

gemäß TS 19102:2021 Abschnitt 10.3.4.2 (4): Die Lage des Verbindungsmittels sollte mit dem Winkel θ abgestimmt sein

$$\theta  = \arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {{h_{conc}} + {h_n}} \right)} \over {{l_n} + {x_{screw}}}}} \right) = \arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {80,0 + 20,0} \right)} \over {200 + 80,0}}} \right) = 10,1^\circ $$

gewählt: θ = 10,0°

Versagensmodi der Kerve

a) Schubversagen Beton

$$\nu  = 0,6 \cdot \left( {1 - {{{f_{\,ck}}} \over {250}}} \right) = 0,6 \cdot \left( {1 - {{35,0} \over {250}}} \right) = 0,516$$

$${f_{\,vcd,fi}} = {{\nu  \cdot {f_{\,cd,fi}}} \over {\cot \theta  + \tan \theta }} = {{0,516 \cdot 35,0} \over {\cot \left( {10,0} \right) + \tan \left( {10,0} \right)}} = 3,09\;N/m{m^2}$$

$${F_{Rd;\,a,fi}} = {f_{\,vcd,fi}} \cdot {b_n} \cdot {l_n} = 3,09 \cdot 1.000 \cdot 200 = 618.000\;N = 618\;kN$$

b) Druckversagen Beton

$${F_{Rd;\,b,fi}} = {f_{\,cd,fi}} \cdot {b_n} \cdot {h_n} = 35,0 \cdot 1.000 \cdot 20,0 = 700.000\;N = 700\;kN$$

c) Schubversagen BSP

$${l_{v,a,calc}} \le 8 \cdot {h_n} = 8 \cdot 20,0 = \underline {160\;mm}  < \min \;{l_{v,a}} = 250\;mm$$

$${F_{Rd;\,c,fi}} = {k_{cr}} \cdot {f_{\,clt,v,d,fi}} \cdot {b_n} \cdot {l_{v,a,calc}} = 1,00 \cdot 4,60 \cdot 1.000 \cdot 160 = 736.000\;N = 736\;kN$$

d) Druckversagen BSP

$${F_{Rd;\,d,fi}} = {f_{\,clt,c,0,d,fi}} \cdot {b_n} \cdot {h_n} = 24,2 \cdot 1.000 \cdot 20,0 = 484.000\;N = 484\;kN$$

Zusammenfassung der Tragfähigkeiten für die jeweiligen Versagensmodi

$${F_{Rd,fi}} = \min \left\{ {\matrix{
   {{F_{Rd;\,a,fi}}}  \cr 
   {{F_{Rd;\,b,fi}}}  \cr 
   {{F_{Rd;\,c,fi}}}  \cr 
   {{F_{Rd;\,d,fi}}}  \cr 

 } } \right. = \min \left\{ {\matrix{
   {618\;kN}  \cr 
   {700\;kN}  \cr 
   {736\;kN}  \cr 
   {484\;kN}  \cr 

 } } \right. = 484\;kN$$

Nachweis der Tragfähigkeit der Kerve

$${{{F_{v,Ed,fi}}} \over {{F_{Rd,fi}}}} = {{72,8} \over {484}} = 0,15 < 1$$

**Nachweis Abhebesicherung**

$${F_{t,Ed,fi}} = \max \left\{ {\matrix{
   {{F_{v,Ed,fi}} \cdot \tan \theta } \hfill  \cr 
   {0,1 \cdot {F_{v,Ed,fi}}} \hfill  \cr 

 } } \right. = \max \left\{ {\matrix{
   {72,8 \cdot \tan \left( {10,0} \right) = 12,8\;kN} \hfill  \cr 
   {0,1 \cdot 72,8 = 7,28\;kN} \hfill  \cr 

 }  = 12,8\;kN} \right.$$

Überprüfung der im Kaltzustand gewählten Anzahl von Tellerkopfschrauben für den Brandfall (3x Tellerkopfschraube Ø 8|160 mm, l<sub>g</sub> = l<sub>ef</sub> = 100 mm)

Die Schraube wurde in ihrer Länge so gewählt, dass diese im Brandfall nicht aus der Brettsperrholzplatte herausragt.

$${f_{\,ax,k,fi}} = {k_{fi}} \cdot 0,52 \cdot {d^{ - 0,5}} \cdot {l_{ef}}^{ - 0,1} \cdot {\rho _k}^{0,8} = 1,05 \cdot 0,52 \cdot {8,00^{ - 0,5}} \cdot {100^{ - 0,1}} \cdot {385^{0,8}} = 14,3\;N/m{m^2}$$

$${k_d} = \min \left\{ {{d \over \matrix{
  8 \hfill \cr 
  1 \hfill \cr} }} \right. = \min \left\{ {{{8,00} \over \matrix{
  8 \hfill \cr 
  1 \hfill \cr} } = 1,00} \right. = 1,00$$

$${F_{ax,d,fi}} = \min \left\{ {\matrix{
   {{{{f_{ax,k,fi}} \cdot d \cdot {l_{ef}} \cdot {k_d}} \over {1,2 \cdot {{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha }} \cdot {{{k_{\bmod ,fi}}} \over {{\gamma _{M,Verb,fi}}}}} \hfill  \cr 
   {{A_s} \cdot {{0,9 \cdot {f_{u,k}}} \over {{\gamma _{M,fi}}}}} \hfill  \cr 

 } } \right. = \min \left\{ {\matrix{
   {{{14,3 \cdot 8,00 \cdot 100 \cdot 1,00} \over {1,2 \cdot {{\cos }^2}90,0 + {{\sin }^2}90}} \cdot {{1,00} \over {1,00}}} \hfill  \cr 
   {{{{{\left( {0,65 \cdot 8,00} \right)}^2} \cdot \pi } \over 4} \cdot {{0,9 \cdot 950} \over {1,00}}} \hfill  \cr 

 } } \right. = \min \left\{ {\matrix{
   {11.400\;N} \hfill  \cr 
   {18.200\;N} \hfill  \cr 

 } } \right. = 11,4\;kN$$

$${R_{ax,d,fi}} = n \cdot {F_{ax,d,fi}} = 3 \cdot 11,4 = 34,2\;kN$$

Nachweis

$${{{F_{t,Ed,fi}}} \over {{R_{ax,d,fi}}}} = {{12,8} \over {34,2}} = 0,37 < 1$$