Beispiel Holz-Beton-Verbund Rippendecke [bspwiki.at]

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====== Beispiel Holz-Beton-Verbund Rippendecke ======

===== Angabe =====

<figure abb_system>
{{ :hbv:examples:tcc_ribbed_slab:system.png?800 |Systemskizze}}
<caption>Systemskizze</caption>
</figure>

<figure abb_detail_auflager_kerve>
{{ :hbv:examples:tcc_ribbed_slab:detail_auflager_kervenausbildung.png?600 |Detail Auflager / Kervenausbildung}}
<caption>Detail Auflager / Kervenausbildung</caption>
</figure>

|**Einwirkungen**  |charakt. Wert der ständigen Einwirkung  |Eigengewicht  |g<sub>1,k</sub> = 4,80 kN/m<sup>2</sup>  |
|:::  |:::  |Fußbodenaufbau  |g<sub>2,k</sub> = 2,00 kN/m<sup>2</sup>  |
|:::  |charakt. Wert der veränderl. Einwirkung  |Nutzlast (inkl. Trennwandzuschlag)  |p<sub>k</sub> = 3,50 kN/m<sup>2</sup>  |
|**Abmessungen und Aufbau**  |Spannweite  |l = 7,50 m  |
|:::  |Aufbau  |BSH, h<sub>glt</sub> = 280 mm (2 x 240/280 mm)  ||
|:::  |:::  |Beton h<sub>conc</sub> = 120,0 mm  ||
|:::  |:::  |Bewehrung BST 550 AQ 50 (wird in der Berechnung der wirksamen Steifigkeiten vernachlässigt)  ||
|**Material**  |BSH  |GL24h lt. EN 14080:2013 [(:ref:on_en_14080_2013)]  |f<sub>m,g,k</sub> = 24,0 N/mm<sup>2</sup>\\  f<sub>c,0,g,k</sub> = 24,0 N/mm<sup>2</sup>\\  f<sub>t,0,g,k</sub> = 19,2 N/mm<sup>2</sup>\\  f<sub>v,g,k</sub> = 2,5 N/mm<sup>2</sup>\\  E<sub>0,g,mean</sub> = 11.500 N/mm<sup>2</sup>\\  |
|:::  |Beton  |C35/45  |f<sub>ck</sub> = 35,0 N/mm<sup>2</sup>\\  E<sub>cm</sub> = 34.000 N/mm<sup>2</sup>\\  Grundzahl des Kriechens (Endkriechzahl): φ<sub>0</sub> = 2,50\\  Endschwindmaß: ε<sub>cs,t=∞</sub> = -0,35‰)   |
|:::  |Kervensteifigkeit lt. TS  |K<sub>ser</sub> = 1.500 kN/mm/m  |
|**Nutzungsklasse**  |NKL 1||
|**KLED**  |"mittel"  |k<sub>mod</sub> = 0,80\\  k<sub>def</sub> = 0,60  |
|**Begrenzung der Durchbiegung**  |Anfangsdurchbiegung  |w<sub>inst,grenz</sub> = l/300  |
|:::  |Enddurchbiegung  |w<sub>net,fin,grenz</sub> = l/250  |
|:::  |Überhöhung  |w<sub>c</sub> = 0 mm  |
|**Feuerwiderstandsdauer**  |R90  ||

**Berechnungsannahmen:**

Berechnung gemäß ONR CEN/TS 19103:2022 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)] mit dem Stabwerksmodell nach Rautenstrauch [(:ref:RautenstrauchEtAl2003)]. Vernachlässigung des Ausfalls der Koppelstäbe bei Zugbeanspruchung in der Verbundfuge.

Verwendung der nationalen Festlegungen für Österreich der Grundlagendokumente für Holz (ÖNORM EN 1995-1-1:2019) [(:ref:on_b_1995_1_1_2019)] und Beton (ÖNORM EN 1992-1-1:2015) [(:ref:on_en_1992_1_1_2015)] in den Nachweisen im Grenzzustand der Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit, sofern nicht anders angegeben.

===== Festigkeitskennwerte =====

==== Brettschichtholz (BSH) ====

$${f_{m,g,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_{m,g,k}}} \over {{\gamma _M}}} = 0,80 \cdot {{24,0} \over {1,25}} = 15,4\;N/m{m^2}$$

$${f_\text{c,0,g,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_\text{c,0,g,k}}} \over {{\gamma _\text{M}}}} = 0,80 \cdot {{24,0} \over {1,25}} = 15,4\text{ N/mm}^2$$

$${f_{t,0,g,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_{t,0,g,k}}} \over {{\gamma _M}}} = 0,80 \cdot {{19,2} \over {1,25}} = 12,3\;N/m{m^2}$$

$${f_{v,g,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_{v,g,k}}} \over {{\gamma _M}}} = 0,80 \cdot {{2,50} \over {1,25}} = 1,60\;N/m{m^2}$$
==== Beton ====

Druckfestigkeit C35/45 gemäß ÖNORM EN 1992-1-1:2015 [(:ref:on_en_1992_1_1_2015)]

$${f_{cd}} = {\alpha _{cc}} \cdot {{{f_{ck}}} \over {{\gamma _c}}} = 1,00 \cdot {{35,0} \over {1,50}} = 23,3\;N/m{m^2}$$

==== Betonstahl ====

BST 550

$${f_{yd}} = {{{f_{yk}}} \over {{\gamma _s}}} = {{550} \over {1,15}} = 478\;N/m{m^2}$$
===== Einwirkungskombinationen =====

==== Einwirkungskombinationen für Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit (ULS) ====

Berechnung Eigengewicht

$${g_{k,1}} = {\gamma _{conc}} \cdot {b_{conc}} \cdot {t_{conc}} + {\gamma _{glt}} \cdot {b_{glt}} \cdot {t_{glt}} = 25,0 \cdot 1,35 \cdot 0,120 + 5,50 \cdot 2 \cdot 0,240 \cdot 0,280 = 4,05 + 0,739 = 4,79 \approx 4,80\;kN/m$$

Umrechnung der Flächenlasten auf die Trägerbreite b<sub>sys</sub> = 1,35 m

Ausbaulast:

$${g_{k,2}} = g_{_{k,2}} \cdot {b_{sys}} = 2,00 \cdot 1,35 = 2,70\;kN/m$$

Nutzlast:

$${q_k} = q_k \cdot {b_{sys}} = 3,50 \cdot 1,35 = 4,73\;kN/m$$

Grundkombination (t = 0) gemäß EN 1990 [(:ref:on_en_1990_2013)]

$${q_d}_{,t = 0} = \sum {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}}  + {\gamma _{Q,1}} \cdot {q_{k,1}} + \sum {{\gamma _{Q,i}} \cdot {q_{k,i}}}  = 1,35 \cdot \left( {4,80 + 2,70} \right) + 1,50 \cdot 4,73 = 17,2\;kN/m$$

Grundkombination (t = ∞) gemäß ONR CEN/TS 19103:2022-04-01 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)]

Aufgrund des unterschiedlichen Kriechverhaltens des Betons, des Holzes und der Verbundmittel (Kerven) werden die Einwirkungen (Lasten) im Grenzzustand der Tragfähigkeit zum Zeitpunkt t = ∞ in „kriechwirksame“ und „nicht kriechwirksame“ unterschieden.
Die resultierenden Spannungen in der BSP-Beton-Verbundkonstruktion ergeben sich gemäß der Technischen Spezifikation [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)] durch Überlagerung der Schnittgrößen aus dem quasi-ständigen Lastanteil (q<sub>perm,d</sub>) und den Spannungen aus Schwinden, berechnet mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = ∞ sowie der Spannungen aus dem kurz wirkenden Lastanteil (nicht kriechwirksam, q<sub>short,d</sub>) berechnet mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = 0.

$${q_{d,t = \infty }} = \left[ {\sum {\left( {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}} \right)}  + {\gamma _{Q,i}} \cdot {q_{k,i}}} \right] = {q_{perm,d}}+{q_{short,d}}=\left[ {\sum {\left( {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}} \right)}  + {\gamma _{Q,i}} \cdot {\psi _{2,i}} \cdot {q_{k,i}}} \right] + \left[ {{\gamma _{Q,i}} \cdot \left( {1 - {\psi _{2,i}}} \right) \cdot {q_{k,i}}} \right]$$

quasi-ständiger Lastanteil

$${q_{perm,d}} = \sum {\left( {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}} \right)}  + \sum {\left( {{\gamma _{Q,i}} \cdot {\psi _{2,i}} \cdot {q_{k,i}}} \right)}  = 1,35 \cdot \left( {4,80 + 2,70} \right) + 1,50 \cdot 0,30 \cdot 4,73 = 12,3\;kN/m$$

kurzzeitiger Lastanteil

$${q_{short,d}} = \sum {\left( {{\gamma _{Q,i}} \cdot \left( {1 - {\psi _{2,i}}} \right) \cdot {q_{k,i}}} \right)}  = 1,50 \cdot \left( {1 - 0,30} \right) \cdot 4,73 = 4,97\;kN/m$$
==== Einwirkungskombinationen für Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (SLS) ====

charakteristische Lastkombination

$${q_{Ed,rare}} = \sum {{g_{k,j}}}  + \sum {{q_{k,i}}}  = \left( {4,80 + 2,70} \right) + 4,73 = 12,2\;kN/m$$

quasi-ständige Lastkombination

$${q_{Ed,perm}} = \sum {{g_{k,j}}}  + \sum {\left( {{\psi _{2.i}} \cdot {q_{k,i}}} \right)}  = 4,80 + 2,70 + 0,3 \cdot 4,73 = 8,92\;kN/m$$

kurzzeitig wirkende Lastanteil

$${q_{Ed,short}} = \sum {\left( {1 - {\psi _{2,i}}} \right) \cdot {q_{k,i}}}  = \left( {1 - 0,30} \right) \cdot 4,73 = 3,31\;kN/m$$
===== Baustatische Modellierung =====

<figure abb_rautenstrauch>
{{ :hbv:examples:tcc_ribbed_slab:system_rautenstrauch.png?800 |Stabwerkmodell nach Rautenstrauch mit Einwirkung}}
<caption>Stabwerkmodell nach Rautenstrauch mit Einwirkung</caption>
</figure>

<figure abb_modellierung_kerve>
{{ :hbv:examples:tcc_ribbed_slab:modellierung_kerve.png?250 |Modellierung Kerve}}
<caption>Modellierung Kerve</caption>
</figure>

<WRAP info 100%>
Zitat aus: „Zur Bemessung von Holz-Beton-Verbunddecken“, Seite 23- 26 [(:ref:Schaenzlin2019)] [Hervorhebung durch die Autoren hinzugefügt]

Ziel [der HBV-Bemessung mit Hilfe der mehreren zu Verfügung stehenden Verfahren in [(:ref:Schaenzlin2019)]] ist es, die Schnittgrößen in den Teilquerschnitten zu bestimmen. Mit Hilfe dieser Schnittgrößen der Teilquerschnitte können dann die Nachweise geführt werden. Die Technical Specification fordert allerdings beim Nachweis die __Kontrolle der Kompatibilität__ [der Verformungen der Einzelquerschnitte bzw. Krümmungen][...]. Hintergrund für diese Regelung ist, dass bei der Ermittlung der Schnittgrößen immer davon ausgegangen wird, dass die beiden Teilquerschnitte sich __nicht voneinander abheben__. Damit haben beide Teilquerschnitte die __gleiche Biegelinie__ und damit die __gleiche Krümmung__. Bei der Bemessung insb. von Stahlbetonbauteilen wird allerdings davon ausgegangen, dass die Bewehrung anfängt zu fließen und die maximale Druckdehnung erreicht wird. Damit wird an der Oberseite des Betonquerschnitts von einer Dehnung von etwa ε<sub>Beton</sub> = −3,5 ‰ angenommen, während auf der Höhe der Bewehrung von einer Dehnung im Stahl bzw. Beton von ε<sub>Bew</sub> ≥ 2 ‰ ausgegangen wird. Durch diese beiden, bei der Bemessung des Querschnitts angenommenen Dehnungen ergibt sich die in diesem Fall angenommene Krümmung zu:

$$\kappa  = {{{\varepsilon _{Bew}} - {\varepsilon _{Beton}}} \over d}$$

Da diese Krümmung allerdings aus der Bemessung bestimmt wird, muss sie nicht zwangsläufig der Krümmung aus der Schnittgrößenermittlung übereinstimmen. Hinzu kommt, dass die __maximale Dehnung des Holzes__ begrenzt ist. Wird von einer charakteristischen Festigkeit ausgegangen, ist die maximale Dehnung im Holz

$${\varepsilon _{\max ,Holz}} = {{{f_{m,k}}} \over {{E_{0,mean}}}}\overbrace  = ^{C24}{{24,0\;N/m{m^2}} \over {11.500\;N/m{m^2}}} = 2,08\;‰$$

Damit liegt die __maximale Dehnung im Holz im Bereich der Fließdehnung des Stahls__. Da das Holz i.d.R. aber unterhalb der Zugzone des Betons angebracht wird, ist die Dehnung im Holz – je nach Verbundfaktor γ – größer als die Dehnung in der Bewehrung [...].

<figure abb_verlauf_dehnung_verbundquerschnitt>
{{ :hbv:examples:clt_concrete_composite:dehnungen_verbundquerschnitt.png?400 |Verlauf der Dehnung im Verbundquerschnitt}}
<caption>Verlauf der Dehnung im Verbundquerschnitt [(:ref:Schaenzlin2019)]</caption>
</figure>

Sollte also zusätzliche Bewehrung als tragendes Bauteil eingebaut werden, stellt sich die Frage, inwieweit diese Bewehrung aktiviert werden kann, ohne dass die maximale Dehnung im Holzquerschnitt überschritten wird, bzw. ob die Kompatibilität der Krümmungen und der Dehnungen im Holz- und Betonquerschnitt auch im Zustand der Bemessung sichergestellt ist. In der Regel führt die Berücksichtigung der Kompatibilität zu einer Bewehrung in einem elastischen Zustand. __Durch die häufig geringen Dehnungen im Bereich der Bewehrung führt dies häufig zu einer recht hohen und damit unwirtschaftlichen Bewehrungsmenge__, so dass eigentlich __immer eine Rissiteration empfohlen wird__, so dass der __Beton dann überdrückt ist und keine tragende Bewehrung benötigt__.

</WRAP>

<WRAP info 100%>
Nach ONR CEN/TS 19103:2022 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)] Absch. 7.1.1 (7) und (8) dürfen für die Materialen Holz und Beton linear-elastische Spannungs-Dehnungs-Beziehungen angenommen werden. Deshalb kann im vorliegenden Beispiel in der Rissiteration auf die gebräuchlichen Beton-Werkstoffgesetze (Parabel-Rechteck-Diagramm, bilineares Diagramm bzw. Spannungsblock) verzichtet werden.

Des Weiteren werden vereinfachend in der Berechnung der Dehn- (EA)<sub>conc</sub> und Biegesteifigkeiten (EI)<sub>conc</sub> der Stahlquerschnitt vernachlässigt.

<figure abb_iteration>
{{ :hbv:examples:tcc_ribbed_slab:rissiteration.png?800 |Iteration}}
<caption>Iteration</caption>
</figure>

</WRAP>

===== Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit (ULS) =====

==== Berechnung mit den Anfangssteifigkeiten (zum Zeitpunkt t = 0) ====

=== Querschnittswerte der Brettschichtholzrippe ===

Bemessungswert des E-Moduls

$${E_{0,g,mean,d,t = 0}} = {{{E_{0,g,mean}}} \over {{\gamma _M}}} = {{11.500} \over {1,25}} = 9.200\;N/mm^2$$

Querschnittswerte

$${\left( {E \cdot A} \right)_{glt,d,t = 0}} = {E_{0,g,mean,d,t = 0}} \cdot A = 9.200 \cdot 2 \cdot 240 \cdot 280 = 1,24 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{glt,y,d,t = 0}}  = {E_{0,g,mean,d,t = 0}} \cdot {{{b_{glt}} \cdot h_{glt}^3} \over {12}} = 9.200 \cdot 2 \cdot {{240 \cdot {{280}^3}} \over {12}} = 8,08 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$
=== Querschnittswerte des Betonquerschnitts ===

Bemessungswert des E-Moduls

$${E_{conc,d,t = 0}} = {{{E_{cm}}} \over {{\gamma _c}}} = {{34.000} \over {1,50}} = 22.700\;N/m{m^2}$$

$${b_w} = 2 \cdot {b_{glt}} = 2 \cdot 240 = 480\;mm$$

Querschnittswerte (unter Vernachlässigung der Bewehrung in der Steifigkeitsberechnung)

{{ :hbv:examples:tcc_ribbed_slab:mitwirkende_plattenbreite.png?350 |mitwirkenden Plattenbreite für einen Plattenbalken gemäß ÖNORM EN 1992-1-1}}

$${b_{eff}}  = \min \left\{ \matrix{
  \sum {{b_{eff,i}} + {b_w}}  \hfill \cr 
  {b_{sys}} \hfill \cr}  \right. = \min \left\{ \matrix{
  2 \cdot 0,837 + 2 \cdot 0,240 = 2,15 \hfill \cr 
  1,35 \hfill \cr}  \right. = 1,35\;m$$
  
$$\eqalign{
  & {b_{eff,i}} &  = 0,2 \cdot {b_i} + 0,1 \cdot l \le 0,2 \cdot l  \cr 
  & {b_{eff,1}} &  = {b_{eff,2}} = 0,2 \cdot 0,435 + 0,1 \cdot 7,50 = \underline {0,837\;m}  < 0,2 \cdot 7,50 = 1,50\;m \cr} $$

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,t = 0}} = {E_{conc,d,t = 0}} \cdot {b_{eff}} \cdot {h_{conc}} = 22.700 \cdot 1.350 \cdot 120 = 3,68 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,d,t = 0}} = {E_{conc,d,t = 0}} \cdot {b_{eff}} \cdot {{h_{conc}^3} \over {12}} = 22.700 \cdot 1.350 \cdot {{{{120}^3}} \over {12}} = 4,41 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$
=== ideelle Biegesteifigkeit einer Schubkonsole ===

Berechung der Kervensteifigkeit mit der Kervenbreite b<sub>n</sub> = 2 · 0,200 = 0,400 m

$${K_{u,d,t = 0}} = {K_{ser,d,t = 0}} = {{{K_{ser}}} \over {{\gamma _M}}} \cdot {b_n} = {{1.500} \over {1,25}} \cdot 0,400 = 480\;kN/mm$$

$${z_{conc}} = {{\left( {{h_{conc}} + {h_n}} \right)} \over 2} = {{\left( {120 + 35,0} \right)} \over 2} = 77,5\;mm$$

$${z_{glt}} = {{\left( {{h_{glt}} - {h_n}} \right)} \over 2} = {{\left( {280 - 35,0} \right)} \over 2} = 123\;mm$$

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{t = 0}^ *  = {{{K_{u,d,t = 0}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{glt}}^3} \right) = {{480 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{77,5}^3} + {{123}^3}} \right) = 3,72 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$
==== Iteration zur Bestimmung der gerissenen Betonhöhe zur Bestimmung der Steifigkeiten des Betons im gerissenen Zustand (Zustand II) ====

Die Berechnung der Schnittkräfte erfolgte mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes mit den zuvor angeführten Querschnitts- und Kervensteifigkeiten (Beton ungerissen - Zustand I) und der charakteristischen (seltenen) Einwirkungskombination q<sub>Ed,rare</sub>= 12,2 kN/m zur Ermittlung der Risstiefe, um damit die Umlagerung der Schnittkräfte vom Beton- auf den Brettschichtholzquerschnitt zu berücksichtigen.

**Berechnung des 1. Iterationsschrittes** (mit N<sub>conc</sub> = -272 kN und M<sub>conc</sub> = 11,0 kNm aus dem Stabwerksprogramm)

Vereinfachung: Betonzugfestigkeit f<sub>ctd</sub> = 0 N/mm<sup>2</sup>

$$\sigma  = \left[ {{{{N_{conc}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} \pm {{{M_{conc}}} \over {{{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} \cdot z} \right] \cdot {E_{conc,d,t = 0}} \le {f_{ctd}} = 0$$

$$ \to z =  - {{{N_{conc}} \cdot {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{conc,d,t = 0}}} \over {{M_{conc}} \cdot {{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} =  - {{ - 272 \cdot {{10}^3} \cdot 4,41 \cdot {{10}^{12}}} \over {11,0 \cdot {{10}^6} \cdot 3,68 \cdot {{10}^9}}} = 29,6\;mm$$

$${h_{conc,red}} = {{{h_{conc}}} \over 2} + z = {{120,0} \over 2} + 29,6 = 89,6\;mm$$

$${z_{conc,i = 1}} = {h_{conc}} + {{{h_n}} \over 2} - {{{h_{conc,red}}} \over 2} = 120,0 + {{35,0} \over 2} - {{89,6} \over 2} = 92,7\;mm$$

**Berechnung der neuen Querschnittswerte der Betonplatte**

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,t = 0}} = {E_{conc,d,t = 0}} \cdot {b_{eff}} \cdot {h_{conc,red}} = 22.700 \cdot 1.350 \cdot 89,6 = 2,75 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,d,t = 0}} = {E_{conc,d,t = 0}} \cdot {b_{eff}} \cdot {{h_{conc,red}^3} \over {12}} = 22.700 \cdot 1.350 \cdot {{{{89,6}^3}} \over {12}} = 1,84 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

**ideelle Biegesteifigkeit einer Schubkonsole**

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{t = 0}^ *  = {{{K_{u,d,t = 0}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{glt}}^3} \right) = {{480 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{92,7}^3} + {{123}^3}} \right) = 4,25 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

<table tab_steifigkeiten_iteration>
<caption>aus den Iterationsschritten resultierende Dehn- und Biegesteifigkeiten sowie Biegesteifigkeit der Schubkonsole mit den zugehörigen Abmessungen</caption>
^  Iteration #  ^  h<sub>conc</sub>  ^  (E∙Ι)<sub>conc,d,t=0</sub>  ^  (E∙A)<sub>conc,d,t=0</sub>  ^  z<sub>conc</sub>  ^  z<sub>glt</sub>  ^  z<sub>conc</sub>+z<sub>glt</sub>  ^  (E∙Ι)<sup>*</sup>  ^
^  :::  ^  [mm]  ^  [Nmm<sup>2</sup>]  ^  [N]  ^  [mm]  ^  [mm]  ^  [mm]  ^  [Nmm<sup>2</sup>]  ^
^  0  |  120,0  |  4,41E+12  |  3,68E+09  |  77,5  |  123  |  201  |  3,72E+11  |
^  1  |  89,6  |  1,84E+12  |  2,75E+09  |  92,7  |  :::  |  216  |  4,25E+11  |
^  2  |  82,4  |  1,43E+12  |  2,53E+09  |  96,3  |  :::  |  219  |  4,41E+11  |
^  3  |  81,4  |  1,37E+12  |  2,49E+09  |  96,8  |  :::  |  220  |  4,43E+11  |
</table>

<table tab_schnittekraefte_iteration>
<caption>Schnittkräfte aus den Iterationsschritten mit der überdrückten Betonhöhe h<sub>conc,red</sub></caption>
^  Iteration #  ^  Zustand Beton  ^  N<sub>conc</sub>  ^  M<sub>conc</sub>  ^  N<sub>glt</sub>  ^  M<sub>glt</sub>  ^  Kerve 1  ^  Kerve 2  ^  Kerve 3  ^  h<sub>conc,red</sub>  ^
^  :::  ^  :::  ^  [kN]  ^  [kNm]  ^  [kN]  ^  [kNm]  ^  [kN]  ^  [kN]  ^  [kN]  ^  [mm]  ^
^  0  |  ZΙ  |  -273  |  11,0  |  273  |  20,1  |  108  |  86,4  |  77,3  |  89,6  |
^  1  |  ZΙI  |  -275  |  4,90  |  275  |  21,5  |  110  |  85,9  |  78,6  |  82,4  |
^  2  |  :::  |  -274  |  3,86  |  274  |  21,9  |  110  |  85,4  |  78,5  |  81,3  |
^  3  |  :::  |  -274  |  3,70  |  274  |  21,9  |  110  |  85,2  |  78,4  |  81,4  |
</table>

**Kontrolle Dekompression**

Aus dem 3. Iterationsschritt ergibt sich eine reduzierte überdrückte Betonhöhe von h<sub>conc,red</sub> = 81,4 mm. Die Kontrolle der Dekompression wird über die Berechnung der Normalspannungen in der Faser z<sub>i</sub> = h<sub>conc,red</sub> / 2 = 81,4 / 2 mm = 40,7 mm geführt.

$$\sigma = \left[ {{{{N_{conc}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} + {{{M_{conc}}} \over {{{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} \cdot z} \right] \cdot {E_{conc,d,t = 0}}= \left[ {{{ - 274 \cdot {{10}^3}} \over {2,49 \cdot {{10}^9}}} + {{3,70 \cdot {{10}^6}} \over {1,37 \cdot {{10}^{12}}}} \cdot {{81,4} \over 2}} \right] \cdot 22.700 =  - 2,50 + 2,50 \approx 0\;N/m{m^2}$$

<WRAP info 100%>
Als Vereinfachung im Berechnungsbeispiel wird die iterierte reduzierte Betonhöhe h<sub>conc,red</sub> über die gesamte Trägerlänge angenommen. Diese wird mit den Bemessungswerten der E-Moduln berechnet und für die Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit für Zeitpunkte t = 0, t = 3-7 a und t = ∞ verwendet.

Es liegt im Ermessen des Nachweisführenden, für die maßgebenden Zeitpunkte und Grenzzustände jeweils eine Rissiteration durchzuführen.
</WRAP>


==== Schnittkraftberechnung ====

=== Ermittlung der Schnittkräfte mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = 0 ===

**Schnittkräfte und Spannungen für die Grundkombination mit q<sub>d,t=0</sub> = 17,2 kN/m (Nachweis ULS t = 0)**

Hinweis: Ermittlung der Schnittkräfte aus der Iteration 3 vom charakteristischen (q<sub>Ed,rare</sub>) Lastniveau auf jenes der Grundkombination (q<sub>d,t=0</sub>):

N<sub>glt,d</sub> = - N<sub>conc,d</sub> = N<sub>glt</sub> ⋅ q<sub>d</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 274 ⋅ 17,2 / 12,2 = 386 kN

M<sub>conc,d</sub> = M<sub>conc</sub> ⋅ q<sub>d</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 3,70 ⋅ 17,2 / 12,2 = 5,22 kNm

M<sub>glt,d</sub> = M<sub>glt</sub> ⋅ q<sub>d</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 21,9 ⋅ 17,2 / 12,2 = 30,9 kNm

N<sub>Kerve1,d</sub> = N<sub>Kerve1</sub> ⋅ q<sub>d</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 110 ⋅ 17,2 / 12,2 = 155 kN

N<sub>Kerve2,d</sub> = N<sub>Kerve2</sub> ⋅ q<sub>d</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 85,2 ⋅ 17,2 / 12,2 = 120 kN

N<sub>Kerve3,d</sub> = N<sub>Kerve3</sub> ⋅ q<sub>d</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 78,4 ⋅ 17,2 / 12,2 = 111 kN

^    ^  Grundkombination mit q<sub>d,t=0</sub> = 17,2 kN/m (Nachweis ULS t = 0)  ^^^^^^^^^
^  Faser  ^  E  ^  N<sub>d</sub>  ^  E⋅A  ^  σ<sub>N</sub>  ^  M<sub>d</sub>  ^  E∙Ι  ^  z<sub>i</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>+σ<sub>M</sub>  ^
^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [kN]  ^  [N]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [kNm]  ^  [Nmm<sup>2</sup>]  ^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^
^  0  |  22.700  |  -386  |  2,49E+09  |  -3,52  |  5,22  |  1,37E+12  |  -40,7  |  -3,52  |  -7,04  |
^  81,4  |  22.700  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  40,7  |  3,52  |  0,0  |
^  120  |  9.200  |  386  |  1,24E+09  |  2,86  |  30,9  |  8,08E+12  |  -140  |  -4,93  |  -2,06  |
^  400  |  9.200  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  140  |  4,93  |  7,79  |

**Schnittkräfte und Spannungen für die quasi-ständige Kombination q<sub>qu-st,d</sub> = 12,3 kN/m und kurzzeitigen Lastanteil q<sub>short,d</sub> = 4,97 kN/m**

Ermittlung der Spannungen von der Grundkombination auf die quasi-ständige Kombination q<sub>perm,d</sub> = 12,3 kN/m und kurzzeitigen Lastanteil q<sub>short,d</sub> = 4,97 kN/m mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = 0:

^    ^  quasi-ständige Komination q<sub>perm,d</sub> = 12,3 kN/m (Nachweis ULS t = 3-7 a)  ^^^  kurzzeitigen Lastanteil q<sub>short,d</sub> = 4,97 kN/m (Nachweis ULS t = ∞)  ^^^
^  Faser  ^  σ<sub>N</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>+σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>+σ<sub>M</sub>  ^
^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^
^  0  |  -2,52  |  -2,52  |  -5,04  |  -1,02  |  -1,02  |  -2,04  |
^  81,4  |  :::  |  2,52  |  0,0  |  :::  |  1,02  |  0,0  |
^  120  |  2,05  |  -3,52  |  -1,47  |  0,831  |  -1,42  |  -0,589  |
^  400  |  :::  |  3,52  |  5,57  |  :::  |  1,42  |  2,25  |

**Ermittlung der Kervenkräfte für den kurzzeitigen Lastanteil q<sub>short,d</sub> = 4,97 kN/m (Nachweis Kerve ULS t = ∞)**

N<sub>Kerve1,d</sub> = N<sub>Kerve1</sub> ⋅ q<sub>short,d</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 155 ⋅ 4,97 / 17,2 = 44,8 kN

N<sub>Kerve2,d</sub> = N<sub>Kerve2</sub> ⋅ q<sub>short,d</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 120 ⋅ 4,97 / 17,2 = 34,7 kN

N<sub>Kerve3,d</sub> = N<sub>Kerve3</sub> ⋅ q<sub>short,d</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 111 ⋅ 4,97 / 17,2 = 32,1 kN
=== Schnittkräfte mit Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = ∞ ===

== Ermittlung des Beiwertes zur Berücksichtigung des Systemkriechverhaltens (siehe ONR CEN/TS 19103:2022) ==

$${\gamma _1}  = {{{{\left( {E \cdot A} \right)}_{glt,d,t = 0}} \cdot {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{glt,d,t = 0}} \cdot {N_{glt}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,d,t = 0}} \cdot \left[ {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{glt,d,t = 0}} \cdot {M_{glt}} \cdot \left( {{z_{conc}} + {z_{glt}}} \right) - {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{glt,d,t = 0}} \cdot {N_{glt}}} \right]}}$$

$$ = {{1,24 \cdot {{10}^9} \cdot 8,08 \cdot {{10}^{12}} \cdot 274 \cdot {{10}^3}} \over {2,49 \cdot {{10}^9} \cdot \left[ {1,24 \cdot {{10}^9} \cdot 21,9 \cdot {{10}^6} \cdot \left( {96,8 + 123} \right) - 8,08 \cdot {{10}^{12}} \cdot 274 \cdot {{10}^3}} \right]}} = 0,294$$

Koeffizient zur Berücksichtigung der Auswirkungen der Verbundwirkungen auf die Kriechzahl des Betonquerschnitts aus Tab. 7.1 ONR CEN/TS 19103:2022 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)]

für φ<sub>0</sub> = 2,50 und k<sub>def</sub> = 0,60

$${\psi _{conc}} = 2,0 - 0,5 \cdot {\gamma _1}^{1,9} = 2,0 - 0,5 \cdot {0,294^{1,9}} = 1,95$$

<table tab_stiffness_inf>
<caption> Steifigkeiten und Verschiebungsmodul zum Zeitpunkt t = ∞ </caption>
^    ^  BSH  ^  Beton  ^  Kerve  ^
|  t=0  |  E<sub>glt,0,mean,d,t=0</sub> = 9.200 N/mm<sup>2</sup>  |  E<sub>cm,d,t=0</sub> = 22.700 N/mm<sup>2</sup>  |  K<sub>u,d,t=0</sub> = K<sub>ser,d,t=0</sub> = 480 kN/mm/m  |
|  Beiwerte  |  ψ<sub>clt</sub> = 1,00  |  ψ<sub>conc</sub> = 1,95  |  ψ<sub>conn</sub> = 1,00  |
|  Langzeit  |  k<sub>def</sub> = 0,60  |  φ<sub>0</sub> = 2,50  |  k<sub>def</sub>‘ = 2⋅k<sub>def</sub> = 2⋅0,60 = 1,20  |
|  t=∞  |  ${E_{glt,0,mean,d,t = \infty }} = {{{E_{glt,0,mean,d,t = 0}}} \over {1 + {\psi _{clt}} \cdot {k_{{\mathop{\rm de}\nolimits} f}}}}$\\  $ = {{9.200} \over {\underbrace {1 + 1,00 \cdot 0,60}_{1,60}}} = 5.750\;N/m{m^2}$  |  ${E_{conc,d,t = \infty }} = {{{E_{conc,d,t = 0}}} \over {1 + {\psi _{conc}} \cdot {\varphi _0}}} = $\\  $ = {{22.700} \over {\underbrace {1 + 1,95 \cdot 2,50}_{ = 5,88}}} = 3.860\;N/m{m^2}$  |  ${K_{u,d,t = \infty }} = {K_{ser,d,t = \infty }} = {{{K_{ser,d,t = 0}}} \over {1 + {\psi _{conn}} \cdot {k_{def}'}}} = $\\  $ = {{480} \over {\underbrace {1 + 1,00 \cdot 1,20}_{2,20}}} = 218\;kN/mm/m$  |
</table>

== Ermittlung der Schnittkräfte mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = ∞ ==

**Querschnittswerte der Brettschichtholzrippe**

$${\left( {E \cdot A} \right)_{glt,d,t = \infty }} = {E_{0,g,mean,d,t = \infty }} \cdot A = 5.750 \cdot 2 \cdot 240 \cdot 280 = 7,73 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{glt,d,t = \infty }} = {E_{0,g,mean,d,t = \infty }} \cdot {{{b_{glt}} \cdot h_{glt}^3} \over {12}} = 5.750 \cdot 2 \cdot 240 \cdot 280 = 5,05 \cdot {10^{12}}\;Nmm^2$$

**Querschnittswerte des Betonquerschnitts** (im Zustand II) zum Zeitpunkt t = ∞ mit h<sub>conc,red,t=0</sub> = 81,4 mm unter Vernachlässigung der Bewehrung

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,t = \infty }} = {E_{conc,d,t = \infty }} \cdot {b_{eff}} \cdot {h_{conc,red,t = 0}} = 3.860 \cdot 1.350 \cdot 81,4 = 4,24 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,d,t = \infty }} = {E_{conc,d,t = \infty }} \cdot {b_{eff}} \cdot {{h_{conc,red,t = 0}^3} \over {12}} = 3.860 \cdot 1.350 \cdot {{{{81,4}^3}} \over {12}} = 2,34 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

**Ermittlung der ideellen Biegesteifigkeit einer Schubkonsole**

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{d,t = \infty }^ *  = {{{K_{u,d,t = \infty }}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{glt}}^3} \right) = {{218 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{96,8}^3} + {{123}^3}} \right) = 2,01 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

$${z_{conc}} + {z_{glt}} = 123 + 96,8 = 220\;mm$$

== Ermittlung der Schnittkräfte für den quasi-ständig Lastanteil zur Berechnung der kriechwirksamen Spannungen im ULS zum Zeitpunkt t = ∞ ==

<WRAP center round todo 100%>
falsche Schnittgrößen!
</WRAP>


Schnittkräfte berechnet mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes (q<sub>perm,d</sub> = 12,2 kN/m)

N<sub>glt,d</sub> = - N<sub>conc,d</sub> = 240 kN

M<sub>conc,d</sub> = 1,25 kNm

M<sub>glt,d</sub> = 31,8 kNm

N<sub>Kerve1,d</sub> = 95,7 kN

N<sub>Kerve2,d</sub> = 75,5 kN

N<sub>Kerve3,d</sub> = 68,3 kN

^  Faser  ^  E<sub>i</sub>  ^  N<sub>d</sub>  ^  E∙A  ^  σ<sub>N</sub>  ^  M<sub>d</sub>  ^  E∙Ι  ^  z<sub>i</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>+σ<sub>M</sub>  ^
^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [kN]  ^  [N]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [kNm]  ^  [Nmm<sup>2</sup>]  ^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^
^  0  |  3.860  |  -240  |  4,24E+08  |  -2,18  |  1,25  |  2,34E+11  |  -40,7  |  -0,839  |  -3,02  |
^  81,4  |  3.860  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  40,7  |  0,839  |  -1,34  |
^  120  |  6.000  |  240  |  7,73E+08  |  1,79  |  31,8  |  5,05E+12  |  -140  |  -5,07  |  -3,28  |
^  400  |  6.000  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  140  |  5,07  |  6,86  |

== Ermittlung der Schnittkräfte und Spannungen infolge der unelastischen Verzerrungen des Betons (Schwinden) im ULS, t = ∞ ==

Bemessungswert der effektiven Schwinddehnung

$${\varepsilon _{ef,conc,d}}\left( {t = \infty } \right) = {\gamma _{SH}} \cdot 0,9 \cdot {\varepsilon _{cs,t = \infty }} = 1,35 \cdot 0,9 \cdot \left( { - 0,350} \right) =  - 0,425\;‰$$

Schnittkräfte berechnet mit Hilfe eines Stabwerkprogrammes

N<sub>glt,d</sub> = - N<sub>conc,d</sub> = -32,5 kN

M<sub>conc,d</sub> = 0,270 kNm

M<sub>glt,d</sub> = 6,88 kNm

N<sub>Kerve1,d</sub> = -22,9 kN

N<sub>Kerve2,d</sub> = -7,11 kN

N<sub>Kerve3,d</sub> = -2,45 kN

^  Faser  ^  E<sub>i</sub>  ^  N<sub>d</sub>  ^  E∙A  ^  σ<sub>N</sub>  ^  M<sub>d</sub>  ^  E∙Ι  ^  z<sub>i</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>+σ<sub>M</sub>  ^
^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [kN]  ^  [N]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [kNm]  ^  [Nmm<sup>2</sup>]  ^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^
^  0  |  3.860  |  32,5  |  4,24E+08  |  0,296  |  0,270  |  2,34E+11  |  -40,7  |  -0,181  |  0,115  |
^  81,4  |  3.860  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  40,7  |  0,181  |  0,477  |
^  120  |  5.750  |  -32,5  |  7,73E+08  |  -0,242  |  6,88  |  5,05E+12  |  -140  |  -1,10  |  -1,34  |
^  400  |  5.750  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  :::  |  140  |  1,10  |  0,858  |

=== Kräfte und Spannungen nach 3 bis 7 Jahren ===

<WRAP info 100%>
Die Baustoffe Holz und Beton weisen, sowohl was die Quantität, als auch den zeitlichen Verlauf betrifft, unterschiedliches Kriechverhalten auf. Auf das Verbundverhalten der Konstruktion bezogen liegen komplexe Verhältnisse vor, die von mehreren Parametern beeinflusst werden. Neben dem zeitlichen Verhalten des Holzes (Schwinden, Kriechen) und der Verbindung betrifft dies vor allem das Verhalten des Betons, auf welches nachfolgend eingegangen wird.

Der Beton härtet mit der Zeit nach, weiters nehmen die Kriechverformungen bei einem späteren Belastungsbeginn ab. Der Beton entwickelt die Kriechverformungen dabei deutlich rascher (mit einem Maximum nach 3 bis 7 Jahren) als das Holz, sodass kritische bzw. bemessungsrelevante Zwischenzustände in der HBV-Konstruktion entstehen können. Im Bereich des Zeitraumes zwischen 3 und 7 Jahren kriecht der Beton in Relation zum Holz rascher und „entzieht“ sich damit der Belastung. Im Zuge dessen kommt es zu einer Umlagerung der Beanspruchung bzw. der Spannungen auf das Holz, welches damit stärker beansprucht wird. Gleichzeitig tritt mit der Abnahme der Steifigkeit des Betonquerschnitts eine Verringerung von dessen Beanspruchung auf, welche sowohl in einer Reduktion der auftretenden (Verbund-) Normalkraft, als auch der Biegebeanspruchung des Betons resultiert. Über die Verbundmittel (Kerven) sind die Normalkräfte der beiden Verbundpartner gekoppelt, sodass auch die Normalkraft im Holzbauteil abnimmt. Die angesprochene Spannungsumlagerung findet daher vorwiegend über die Biegebeanspruchungszunahme des Holzbauteiles statt. Alle weiteren Schnittgrößen sowie die Kraft in den Kerven weisen __im Allgemeinen__ dann ihr Maximum auf, wenn die Steifigkeiten am Höchsten sind, d. h. im Allgemeinen zum Zeitpunkt t = 0.

Um mögliche ungünstige Beanspruchungen nach einer Zeitdauer von 3 bis 7 Jahren in der Nachweisführung zu berücksichtigen, sind diese, neben jenen zum Zeitpunkt t = 0 und t = ∞, nachzuweisen. Nach ONR CEN/TS 19103:2022 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)], Abschnitt 7.1.2 darf ein detaillierter Nachweis der Spannungen nach 3 bis 7 Jahren entfallen, wenn die Spannungen im Holz zu den Zeitpunkten t = 0 und t = ∞ infolge der quasi-ständigen Einwirkungskombinationen um 25% erhöht werden und der Grenzzustand der Tragfähigkeit im Holzquerschnitt unter den erhöhten Spannungen weiterhin eingehalten ist.
</WRAP>

Überprüfung, ob die Kräfte und Spannungen nach 3 bis 7 Jahren nachzuweisen sind:

zum Zeitpunkt t = 0

- für die quasi-ständige Einwirkungskombination

$${\eta _{glt,perm,d,t = 0}} = {{{\sigma _{glt,t,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,glt,t,0,d}}}} + {{{\sigma _{glt,m,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,glt,m,d}}}} = {{2,05} \over {12,3}} + {{3,52} \over {15,4}} = 0,167 + 0,229 = 0,396$$

- für den kurzzeitig wirkenden Anteil der Einwirkungskombination

$${\eta _{glt,short,d,t = 0}} = {{{\sigma _{glt,t,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,glt,t,0,d}}}} + {{{\sigma _{glt,m,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,glt,m,d}}}} = {{0,831} \over {12,3}} + {{1,42} \over {15,4}} = 0,0676 + 0,0922 = 0,160$$

zum Zeitpunkt t = ∞

- für die quasi-ständige Einwirkungskombination

$${\eta _{glt,perm,d,t = \infty }} = {{{\sigma _{glt,t,d,\,t = \infty }}} \over {{f_{\,glt,t,0,d}}}} + {{{\sigma _{glt,m,d,t = \infty }}} \over {{f_{\,glt,m,d}}}} = {{1,79} \over {12,3}} + {{5,07} \over {15,4}} = 0,146 + 0,329 = 0,475$$

→ ist der Spannungsnachweis für das BSH bei Erhöhung der Spannungen für die quasi-ständige Einwirkungskombination um 25% weiterhin erfüllt, erübrigt sich der Nachweis zum Zeitpunkt t = 3 und 7 Jahre

t=0 

$$1,25 \cdot {\eta _{glt,perm,d;t = 0}} + {\eta _{glt,short,d;t = 0}} = 1,25 \cdot 0,396 + 0,160 = 0,66 < 1$$

t=∞

$$1,25 \cdot {\eta _{glt,perm,d;t = \infty }} + {\eta _{glt,short,d;t = 0}} = 1,25 \cdot 0,475 + 0,160 = 0,75 < 1$$

→ d. h. es sind keine zusätzlichen Zeitpunkte zu betrachten.

=== Zusammenfassung der Spannungen und Kervenkräfte ===

<table tab_zusammenfassung_spannungen>
<caption>Zusammenfassung der Spannungen zu den Zeitpunkten t = 0 und t = ∞</caption>
^  Spg.  ^  Faser  ^  zum Zeitpunkt t = 0  ^^^  Endwert der Spannungsverteilung gemäß TS/CEN 19103, Absch. 4.2 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)]  ^^^^^^^^^
^  :::  ^  :::  ^  aus q<sub>d,t=0</sub>  ^^  Summe σ<sub>N</sub>+σ<sub>M</sub>  ^  aus q<sub>short,d,t=0</sub>  ^^  aus q<sub>perm,d,t=∞</sub>  ^^  aus ε<sub>ef,conc,d,t=∞</sub>  ^^  Summe  ^^  Summe σ<sub>N</sub>+σ<sub>M</sub>  ^
^  :::  ^  :::  ^  σ<sub>N</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  :::  ^  σ<sub>N</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  σ<sub>N</sub>  ^  σ<sub>M</sub>  ^  :::  ^
^  [-]  ^  [mm]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^  [N/mm<sup>2</sup>]  ^
|  σ<sub>conc,o,d</sub>  |  0  |  -3,52  |  -3,52  |  **<fc #ffa500>-7,04</fc>**  |  -1,02  |  -1,02  |  -2,18  |  -0,839  |  0,296  |  -0,181  |  -2,90  |  -2,04  |  **-4,94**  |
|  σ<sub>conc,u,d</sub>  |  81,4  |  :::  |  3,52  |  **0,00**  |  :::  |  1,02  |  :::  |  0,839  |  :::  |  0,181  |  :::  |  2,04  |  **-0,864**  |
|  σ<sub>glt,o,d</sub>  |  120  |  2,86  |  -4,93  |  **-2,06**  |  0,831  |  -1,42  |  1,79  |  -5,07  |  -0,242  |  -1,10  |  **<fc #ffa500>2,38</fc>**  |  -7,59  |  **-5,21**  |
|  σ<sub>glt,u,d</sub>  |  400  |  :::  |  4,93  |  **7,79**  |  :::  |  1,42  |  :::  |  5,07  |  :::  |  1,10  |  :::  |  **<fc #ffa500>7,59</fc>**  |  **9,97**  |
</table>

<table tab_zusammenfassung_kervenkraefte>
<caption>Kräfte in den Kerven</caption>
^  Kerve  ^  zum Zeitpunkt t = 0  ^  Endwert der Kervenkräfte nach TS/CEN 19103, Absch. 4.2 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)]  ^^^^
^  :::  ^  aus q<sub>d,t=0</sub>  ^  aus q<sub>short,d,t=0</sub>  ^  aus q<sub>perm,d,t=∞</sub>  ^  aus ε<sub>ef,conc,d,t=∞</sub>  ^  Summe  ^
^  :::  ^  [kN]  ^  [kN]  ^  [kN]  ^  [kN]  ^  [kN]  ^
|  N<sub>Kerve,1</sub>  |  **<fc #ffa500>155</fc>**  |  44,8  |  95,7  |  -22,9  |  **118**  |
|  N<sub>Kerve,2</sub>  |  **120**  |  34,7  |  75,5  |  -7,11  |  **103**  |
|  N<sub>Kerve,3</sub>  |  **111**  |  32,1  |  68,3  |  -2,45  |  **98,0**  |
</table>
=== Nachweisführungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit (ULS) ===

<WRAP info 100%>
In diesem Beispiel sind die Querschnittsnachweise für Brettschichtholz und Beton in Feldmitte angeführt. Zusätzlich können die Nachweise in den Bereichen der Kerven bemessungsrelevant werden. Diese werden aus Gründen der Übersichtlichkeit im Folgenden nicht dargestellt.
</WRAP>

== Nachweise Brettschichtholz ==

**Normalspannungsnachweis**

maßgebender Nachweis: Zeitpunkt t = ∞

$${{{\sigma _{t,g,0,d}}} \over {{f_{\,t,g,0,d}}}} + {{{\sigma _{m,g,d}}} \over {{f_{\,m,g,d}}}} = {{2,38} \over {12,3}} + {{7,59} \over {15,4}} = 0,193 + 0,493 = 0,69 < 1$$

**Schubspannungsnachweise**

<WRAP info 100%>
Das verwendete Stabwerksmodell ist in der angewandten Form nicht in der Lage, die in der Verbundkonstruktion, insbesondere im Bereich des Betonbauteils vor der 1. Kerve, auftretende Querkraft zuverlässig abzubilden. Die Ergebnisse hängen vom gewählten Abstand der starren Koppelstäben ab. Auf der konservativen Seite liegend wird die Querkrafttragfähigkeit der Holz-Beton-Verbund Deckenkonstruktion so nachgewiesen, dass die gesamte Querkraft am Auflager von der BSH-Rippe abgetragen wird.
</WRAP>

Bemessungswert der Einwirkung

$${V_{clt,d}} = {q_d} \cdot {l \over 2} = 17,2 \cdot {{7,50} \over 2} = 64,5\;kN$$

Schubspannungen

$${\tau _{glt,d}} = 1,5 \cdot {{{V_{A,d}}} \over {{A_{glt}}}} = 1,5 \cdot {{64,5 \cdot {{10}^3}} \over {2 \cdot 240 \cdot 280}} = 0,720\;N/m{m^2}$$

Nachweis

$${{{\tau _{glt,d}}} \over {{f_{\,v,g,d}}}} = {{0,720} \over {1,60}} = 0,45 < 1$$
== Nachweis Beton ==

Nachweis der Betondruckspannung in Feldmitte

maßgebender Nachweis: Zeitpunkt t = 0

$${{{\sigma _{conc,o,d,t = 0}}} \over {{f_{\,cd}}}} = {{\left| { - 7,04} \right|} \over {23,3}} = 0,30 < 1$$

Nachweis Druckgurtanschluss (Typ 1) nach ÖNORM EN 1992-1-1:2015 [(:ref:on_en_1992_1_1_2015)]

maßgebender Nachweis: Kerve 1 zum Zeitpunkt t = 0

{{ :hbv:examples:tcc_ribbed_slab:druckgurtanschluss.png?800 |Druckgurtanschluss}}

Berechnung Druckstrebenwinkel Kerve 1

$$\tan \left( {{\theta _f}} \right) = \left( {{{{{{b_{eff}}} \over 4} - {{{b_w}} \over 4}} \over {{{{x_{Kerve}}} \over 2}}}} \right) = \left( {{{{b_{eff}} - {b_w}} \over {2 \cdot {x_{Kerve}}}}} \right) = \left( {{{1.350 - 480} \over {2 \cdot 650}}} \right) = 0,669\; \to \;{\theta _f} = 33,8^\circ $$

Grenzen Druckstrebenwinkel

$$26,5°<\theta_f = 33,8 < 45,0^\circ $$

Versagen der Druckstreben

Hydrostatischer Spannungszustand (Druckknoten Typ 1)

$${\sigma _{cd}} = {\sigma _{cd,1}} = {\sigma _{cd,2}} = {\sigma _{cd,3}}$$

Annahme: Höhe der Druckstrebe bleibt ungerissen und entspicht der Höhe des Betonquerschnittes h<sub>conc</sub> = 120 mm

$${F_{cd,1}} = {{{N_{Kerve,1}}} \over 2}$$

$${\sigma _{cd}}  = {\sigma _{cd,1}} = {{{F_{cd,1}}} \over {{a_1} \cdot b}} = {{{N_{Kerve,1}}} \over {2 \cdot {a_1} \cdot {h_{conc}}}} = {{155 \cdot {{10}^3}} \over {2 \cdot 200 \cdot 120}} = 3,23\;N/m{m^2}$$

Bemessungswert der Festigkeit von Betonstreben mit Querzug (vgl. ÖNORM EN 1992-1-1:2015 Gl. (6.56) [(:ref:on_en_1992_1_1_2015)] & ÖNORM B 1992-1-1:2011 Abschnitt 9.5.2 [(:ref:on_b_1992_1_1_2011)])

$${\sigma _{Rd}} = \nu ' \cdot {f_{cd}} = {k_1} \cdot \left( {1 - {{{f_{ck}}} \over {250}}} \right) \cdot {f_{cd}} = 0,60 \cdot \left( {1 - {{35,0} \over {250}}} \right) \cdot 23,3 = 12,0\;N/m{m^2}$$

Nachweis

$${{{\sigma _{cd}}} \over {{\sigma _{Rd}}}} = {{3,23} \over {12,0}} = 0,27 < 1$$

Versagen der Zugstrebe (Querbewehrung)

<WRAP group>
<WRAP column 70%>
$${F_{s,1}} = {{{N_{Kerve,1}}} \over 2} \cdot \tan \left( {{\theta _f}} \right) = {{155} \over 2} \cdot 0,669 = 51,8\;kN$$

$${a_{sf,1}} = {{{F_{s,1}}} \over {{x_{Kerve,1}} \cdot {f_{yd}}}} = {{51,8 \cdot {{10}^3}} \over {0,650 \cdot 478}} \cdot {10^{ - 2}} = 1,67\;c{m^2}/m < {a_{sf,prov}} = 1,96\;c{m^2}/m\;\left( {AQ\;50} \right)$$
</WRAP>

<WRAP column 20%>
{{:hbv:examples:tcc_ribbed_slab:kraftdreieck_druckgurtanschluss.png?150|}}
</WRAP>
</WRAP>




== Nachweis Verbindung (Kerve) ==

Bemessungswert der Einwirkung

$${F_{v,Ed}} = \max \;{N_{Kerve1,d;t = 0}} = 155\;kN$$

Berechnung der minimalen und maximalen Druckstrebenneigung

$$\min \;\Theta  = \max \left\{ {\matrix{
   {\arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {{h_{conc}} + {h_n}} \right)} \over {{l_n} + {l_s}}}} \right)} \hfill  \cr 
   {\arctan \left( {{{{h_n}} \over {{l_n}}}} \right)} \hfill  \cr 

 } } \right. = \max \left\{ {\matrix{
   {\arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {120 + 35,0} \right)} \over {200 + 250}}} \right) = 6,80^\circ } \hfill  \cr 
   {\arctan \left( {{{35,0} \over {200}}} \right) = 9,93^\circ } \hfill  \cr 

 } } \right. = 9,93^\circ $$

$$\max \;\Theta  = 45^\circ $$

Bestimmung der Druckstrebenneigung bis zur Abhebesicherung (mit x<sub>screw</sub> = 240 mm)

$$\Theta  = \arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {{h_{conc}} + {h_n}} \right)} \over {{l_n} + {x_{screw}}}}} \right) = \arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {120 + 35,0} \right)} \over {200 + 240}}} \right) = 9,99^\circ $$

gewählt: Θ = 10,0°

Versagensmodi der Kerve

a) Schubversagen Beton

$$\nu  = 0,6 \cdot \left( {1 - {{{f_{\,ck}}} \over {250}}} \right) = 0,6 \cdot \left( {1 - {{35,0} \over {250}}} \right) = 0,516$$

$${f_{\,vcd}} = {{\nu  \cdot {f_{\,cd}}} \over {\cot \theta  + \tan \theta }} = {{0,516 \cdot 23,3} \over {\cot \left( {10,0} \right) + \tan \left( {10,0} \right)}} = 2,06\;N/m{m^2}$$

$${F_{Rd;\,a}} = {f_{\,vcd}} \cdot {b_n} \cdot {l_n} = 2,06 \cdot 2 \cdot 200 \cdot 200 = 165.000\;N = 165\;kN$$

b) Druckversagen Beton

$${F_{Rd;\,b}} = {f_{\,cd}} \cdot {b_n} \cdot {h_n} = 23,3 \cdot 2 \cdot 200 \cdot 35,0 = 326.000\;N = 326\;kN$$

c) Schubversagen BSH

$${l_{v,a,calc}} \le 8 \cdot {h_n} = 8 \cdot 35,0 = \underline {280\;mm}  < \min \;{l_{v,a}} = 600\;mm$$

$${F_{Rd;\,c}} = {k_{cr}} \cdot {f_{v,g,d}} \cdot {b_n} \cdot {l_{v,a,calc}} = 1,00 \cdot 1,60 \cdot 2 \cdot 200 \cdot 280 = 179.200\;N = 179\;kN$$

d) Druckversagen BSH

$${F_{Rd;\,d}} = {f_{c,0,g,d}} \cdot {b_n} \cdot {h_n} = 15,4 \cdot 2 \cdot 200 \cdot 35,0 = 215.600\;N = 216\;kN$$

Zusammenfassung der Tragfähigkeiten für die jeweiligen Versagensmodi

$${F_{Rd}} = \min \left\{ {\matrix{
   {{F_{Rd;\,a}}}  \cr 
   {{F_{Rd;\,b}}}  \cr 
   {{F_{Rd;\,c}}}  \cr 
   {{F_{Rd;\,d}}}  \cr 

 } } \right. = \min \left\{ {\matrix{
   {165\;kN}  \cr 
   {326\;kN}  \cr 
   {179\;kN}  \cr 
   {216\;kN}  \cr 

 } } \right. = 165\;kN$$

Nachweis der Tragfähigkeit der Kerve

$${{{F_{v,Ed}}} \over {{F_{Rd}}}} = {{155} \over {165}} = 0,94 < 1$$

**Nachweis der Abhebesicherung**

$${F_{t,Ed}} = \max \left\{ {\matrix{
   {{F_{v,Ed}} \cdot \tan \theta } \hfill  \cr 
   {0,1 \cdot {F_{v,Ed}}} \hfill  \cr 

 } } \right. = \max \left\{ {\matrix{
   {155 \cdot \tan \left( {10,0} \right) = 27,3\;kN} \hfill  \cr 
   {0,1 \cdot 155 = 15,5\;kN} \hfill  \cr 

 }  = 27,3\;kN} \right.$$

gewählt: Tellerkopfschraube Ø 8 | 260 mm, l<sub>g</sub> = l<sub>ef</sub> = 100 mm

Tragfähigkeit einer Schraube auf Herausziehen

$${f_{\,ax,k}} = 0,52 \cdot {d^{ - 0,5}} \cdot {l_{ef}}^{ - 0,1} \cdot {\rho _k}^{0,8} = 0,52 \cdot {8,00^{ - 0,5}} \cdot {100^{ - 0,1}} \cdot {385^{0,8}} = 13,6\;N/m{m^2}$$

$${k_d} = \min \left\{ {{d \over \matrix{
  8 \hfill \cr 
  1 \hfill \cr} }} \right. = \min \left\{ {{{8,00} \over \matrix{
  8 \hfill \cr 
  1 \hfill \cr} } = 1,00} \right. = 1,00$$
  
$${F_{ax,Rd}} = \min \left\{ {\matrix{
   {{{{f_{ax,k}} \cdot d \cdot {l_{ef}} \cdot {k_d}} \over {1,2 \cdot {{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha }} \cdot {{{k_{\bmod }}} \over {{\gamma _{M,Verb}}}}} \hfill  \cr 
   {{A_s} \cdot {{0,9 \cdot {f_{u,k}}} \over {{\gamma _{M\;2}}}}} \hfill  \cr 

 } } \right. = \min \left\{ {\matrix{
   {{{13,6 \cdot 8,00 \cdot 100 \cdot 1,00} \over {1,2 \cdot {{\cos }^2}90,0 + {{\sin }^2}90}} \cdot {{0,80} \over {1,30}}} \hfill  \cr 
   {{{{{\left( {0,65 \cdot 8,00} \right)}^2} \cdot \pi } \over 4} \cdot {{0,9 \cdot 950} \over {1,25}}} \hfill  \cr 

 } } \right. = \min \left\{ {\matrix{
   {6.695\;N} \hfill  \cr 
   {14.526\;N} \hfill  \cr 

 } } \right. = 6,70\;kN$$

Berechnung der Schraubenanzahl

$${F_{t,Ed}} \le {R_{ax,d}} = {n^{0,9}} \cdot {F_{ax,d}}$$

$$ \to n = {\left( {{{{F_{t,Ed}}} \over {{F_{ax,d}}}}} \right)^{\,{1 \over {0,9}}}} = {\left( {{{27,3} \over {6,70}}} \right)^{1,11}} = 4,8\;Stk$$

gewählt: 6 x Tellerkopfschraube Ø 8 | 260, l<sub>g</sub> = 100 mm

Festlegung und Überprüfung der Randabstände:

Mindest-Schraubenabstand rechtwinklig zu einer parallel zur Faserrichtung und Schraubenachse liegenden Ebene:

a<sub>2,req</sub> = 5·d = 5⋅8 = 40,0 mm < a<sub>2,prov</sub> = 50,0 mm

Mindestrandabstand des Schwerpunkts des Schraubengewindes im Bauteil:

a<sub>2,CG,req</sub> = 4·d = 4 ⋅8 = 32,0 mm < a<sub>2,CG,prov</sub> = 70,0 mm

Überprüfung der erforderlichen Rippenbreite

b<sub>Rippe,req</sub> = 2⋅a<sub>2,CG</sub> + (n − 1)⋅a<sub>2</sub> = 2⋅4·d + (n − 1)⋅5·d = 2⋅4⋅8,00 + (3 − 1)⋅5⋅8,00 = 144 mm

b<sub>Rippe,prov</sub> = 2⋅a<sub>2,CG,prov</sub> + (n− 1)⋅a<sub>2,prov</sub> = 2⋅70,0 + (3 − 1)⋅50,0 = 240 mm

b<sub>Rippe,req</sub> = 144 mm < b<sub>Rippe,prov</sub> = 240 mm

{{ :hbv:examples:tcc_ribbed_slab:anordnung_schrauben.png?350 |Anordnung der Schrauben}}
===== Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (SLS) =====

==== Nachweis der Begrenzung der Anfangsdurchbiegung (t = 0) ====

=== Querschnittswerte – SLS zum Zeitpunkt t = 0 ===

**Querschnittswerte der Brettschichtholzrippe**

$${\left( {E \cdot A} \right)_{glt,inst}} = {E_{0,mean}} \cdot A = 11.500 \cdot 2 \cdot 240 \cdot 280 = 1,55 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{glt,y,inst}} = {E_{0,mean}} \cdot {{b \cdot {h^3}} \over {12}} = 11.500 \cdot 2 \cdot {{240 \cdot {{280}^3}} \over {12}} = 1,01 \cdot {10^{13}}\;Nm{m^2}$$

**Querschnittswerte des gerissenen Betonquerschnittes**

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,inst}} = {E_{cm}} \cdot {b_{eff}} \cdot {h_{conc,red}} = 34.000 \cdot 1.350 \cdot 81,4 = 3,74 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,inst}} = {E_{cm}} \cdot {b_{eff}} \cdot {{h_{conc,red}^3} \over {12}} = 34.000 \cdot 1.350 \cdot {{{{81,4}^3}} \over {12}} = 2,06 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}\;$$

**ideelle Biegesteifigkeit einer Schubkonsole**

$${z_{conc}} = {h_{conc}} + {{{h_n} - {h_{conc,red}}} \over 2} = 120 + {{35,0 - 81,4} \over 2} = 96,8\;mm$$

$${z_{glt}} = {{{h_{glt}} - {h_n}} \over 2} = {{280 - 35,0} \over 2} = 123\;mm$$

$${K_{u,inst}} = {K_{ser,inst}} = {K_{ser}} \cdot {b_n} = 1.500 \cdot 0,400 = 600\;kN/mm$$

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{inst}^ *  = {{{K_{ser}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{glt}}^3} \right) = {{600 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{96,8}^3} + {{123}^3}} \right) = 5,54 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

=== Berechnung und Nachweis der vertikalen Anfangsdurchbiegung ===

Anfangsdurchbiegung für die seltene (charakteristische) Einwirkungskombination q<sub>Ed,rare</sub> = 12,2 kN/m

Durchbiegung berechnet mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes

w<sub>inst</sub> = 10,0 mm

Grenzwert der Anfangsdurchbiegung

$${w_{inst,grenz}} = {l \over {300}} = {{7.500} \over {300}} = 25,0\;mm$$

Nachweis

$${{{w_{inst}}} \over {{w_{inst,grenz}}}} = {{10,0} \over {25,0}} = 0,40 < 1$$

Schnittgrößen berechnet mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes für die Berechnung der nachfolgend berechneten Koeffizienten γ<sub>1</sub> und ψ<sub>conc</sub>:

N<sub>glt,Ed,rare,inst</sub> = 275 kN\\  M<sub>glt,Ed,rare,inst</sub> = 21,1 kNm


==== Nachweis der Begrenzung des Maximalbetrags der Enddurchbiegung (t = ∞) ====

=== Ermittlung des Beiwertes zur Berücksichtigung des Systemkriechbeiwertes ===

Schnittgrößen des BSP aufgrund des quasi-ständigen Lastanteiles und SLS-Querschnittswerten (Zustand II) zum Zeitpunkt t = 0

q<sub>Ed,perm</sub> = 8,92 kN/m

N<sub>glt,Ed,perm,inst</sub> = N<sub>glt,Ed,rare,inst</sub> · q<sub>Ed,perm</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 275 · 8,92 / 12,2 = 201 kN

M<sub>glt,Ed,perm,inst</sub> = M<sub>glt,Ed,rare,inst</sub> · q<sub>Ed,perm</sub> / q<sub>Ed,rare</sub> = 21,1 · 8,92 / 12,2 = 15,4 kNm

Koeffizient zur Berücksichtigung der Auswirkungen der Verbundwirkungen auf die Kriechzahl des Betonquerschnitts aus (siehe TS, Absch. 7.1.2 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)])

$${\gamma _1}  = {{{{\left( {E \cdot A} \right)}_{glt,inst}} \cdot {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{glt,y,inst}} \cdot {N_{glt,Ed,perm,inst}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,inst}} \cdot \left[ {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{glt,inst}} \cdot {M_{glt,Ed,perm,inst}} \cdot \left( {{z_{conc}} + {z_{glt}}} \right) - {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{glt,y,inst}} \cdot {N_{glt,Ed,perm,inst}}} \right]}} = $$

$$ = {{1,55 \cdot {{10}^9} \cdot 1,01 \cdot {{10}^{13}} \cdot 201 \cdot {{10}^3}} \over {3,74 \cdot {{10}^9} \cdot \left[ {1,55 \cdot {{10}^9} \cdot 15,4 \cdot {{10}^6} \cdot \left( {96,8 + 123} \right) - 1,01 \cdot {{10}^{13}} \cdot 201 \cdot {{10}^3}} \right]}} = 0,262$$

$${\psi _{conc}} = 2,0 - 0,5 \cdot {\gamma _1}^{1,9} = 2,0 - 0,5 \cdot {0,262^{1,9}} = 1,96$$

<table tab_steifigkeiten_sls_inf>
<caption>Steifigkeiten und Verschiebungsmodul zum Zeitpunkt t = ∞</caption>
^    ^  BSH  ^  Beton  ^  Kerve  ^
|  t=0  |  E<sub>clt,0,mean,t=0</sub> = 11.500 N/mm<sup>2</sup>  |  E<sub>conc,t=0</sub> = 34.000 N/mm<sup>2</sup>  |  K<sub>u,t=0</sub> = K<sub>ser,t=0</sub> = 600 kN/mm/m  |
|  Beiwerte  |  ψ<sub>glt</sub> = 1,00  |  ψ<sub>conc</sub> = 1,96  |  ψ<sub>conn</sub> = 1,00  |
|  Langzeit  |  k<sub>def</sub> = 0,60  |  φ<sub>0</sub> = 2,50  |  k<sub>def</sub>‘ = 2 · k<sub>def</sub> = 2 · 0,60 = 1,20  |
|  t=∞  |  ${E_{clt,0,mean,d,t = \infty }} = {{{E_{clt,0,mean,d,t = 0}}} \over {1 + {\psi _{clt}} \cdot {k_{{\mathop{\rm de}\nolimits} f}}}}$\\  $ = {{11.500} \over {\underbrace {1 + 1,00 \cdot 0,60}_{1,60}}} = 7.190\;N/m{m^2}$  |  ${E_{conc,d,t = \infty }} = {{{E_{conc,d,t = 0}}} \over {1 + {\psi _{conc}} \cdot {\varphi _0}}} = $\\  $ = {{34.000} \over {\underbrace {1 + 1,96 \cdot 2,50}_{ = 5,90}}} = 5.760\;N/m{m^2}$  |  ${K_{u,d,t = \infty }} = {K_{ser,d,t = \infty }} = {{{K_{ser,d,t = 0}}} \over {1 + {\psi _{conn}} \cdot {k_{def}'}}} = $\\  $ = {{600} \over {\underbrace {1 + 1,00 \cdot 1,20}_{2,20}}} = 273\;kN/mm/m$  |
</table>
=== Querschnittswerte – SLS zum Zeitpunkt t =∞ ===

**Querschnittswerte der Brettschichtholzrippe**

$${\left( {E \cdot A} \right)_{glt,fin}} = {E_{0,mean,fin}} \cdot A = 7.190 \cdot 2 \cdot 240 \cdot 280 = 9,66 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{glt,y,fin}} = {E_{0,mean,fin}} \cdot {{b \cdot {h^3}} \over {12}} = 7.190 \cdot 2 \cdot {{240 \cdot {{280}^3}} \over {12}} = 6,31 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

**Querschnittswerte des gerissenen Betonquerschnittes**

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,fin}} = {E_{conc,fin}} \cdot {b_{eff}} \cdot {h_{conc,red}} = 5.760 \cdot 1.350 \cdot 81,4 = 6,33 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,fin}} = {E_{conc,fin}} \cdot b \cdot {{h_{conc,red}^3} \over {12}} = 5.760 \cdot 1.350 \cdot {{{{81,4}^3}} \over {12}} = 3,50 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

**Ermittlung der ideellen Biegesteifigkeit einer Schubkonsole**

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{fin}^ *  = {{{K_{ser,fin}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{glt}}^3} \right) = {{273 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{96,8}^3} + {{123}^3}} \right) = 2,52 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$
==== Berechnung und Nachweis der gesamten Enddurchbiegung ====

Durchbiegung aufgrund des quasi-ständigen Einwirkungsanteils (q<sub>Ed,perm</sub> = 8,92 kN/m)

w<sub>perm,fin</sub> = 17,7 mm

Durchbiegung aufgrund des Betonschwindens (zum Zeitpunkt t = ∞)

$${\varepsilon _{conc,fin}} = 0,9 \cdot {\varepsilon _{cs,t = \infty }} = 0,9 \cdot \left( { - 0,350} \right) =  - 0,315\;‰$$

$$w_\text{SH,fin} = 6,90 \text{ mm}$$

Berechnung der gesamten Enddurchbiegung

$${w_{net,fin}} = {w_{perm,fin}} + {w_{SH,fin}} - {w_c} = 17,7 + 6,90 - 0 = 24,6\;mm$$

Grenzwert der Enddurchbiegung

$${w_{net,fin,grenz}} = {l \over {250}} = {{7.500} \over {250}} = 30,0\;mm$$

Nachweis

$${{{w_{net,fin}}} \over {{w_{net,fin,grenz}}}} = {{24,6} \over {30,0}} = 0,82 < 1$$
==== Schwingungsnachweis ===

<WRAP info 100%>
Der Schwingungsnachweis wurde als ingenieurmäßige Beurteilung in Anlehnung an die Festlegungen der ÖNORM B 1995-1-1:2019 geführt. Die Regelungen in diesem Nationalen Anhang - insbesondere die festgelegten Grenzwerte - gelten nicht explizit für HBV-Decken, sondern wurden für Holzdecken entwickelt und kalibriert. Vorliegende Daten ausgeführter Holz-Beton-Verbund Decken wiesen grundsätzlich ein vergleichsweises gutes Schwingungsverhalten auf (siehe Hamm et al. [(:ref:HammEtAl2010)]). Bei HBV-Decken mit besonderen Anforderungen an das Schwingverhalten sollten gegebenenfalls besondere Untersuchungen durchgeführt werden.
</WRAP>

- in Längsrichtung

Rückrechnung der effektiven Steifigkeit in Deckenlängsrichtung aus der Durchbiegungsberechnung zum Zeitpunkt t = 0

mit $w = {5 \over {384}} \cdot {{q \cdot {l^4}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_x}}}$

mit w<sub>inst</sub> = 10,0 mm und q<sub>Ed,rare</sub> = 12,2 kN/m aus dem Nachweis der vertikalen Anfangsdurchbiegung (für b<sub>sys</sub> = b<sub>eff</sub> = 1,35 m)

$$ \to {\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,x}} = {5 \over {384}} \cdot {{q \cdot {l^4}} \over w} = {5 \over {384}} \cdot {{12,2 \cdot {{7.500}^4}} \over {10,0}} = 5,03 \cdot {10^{13}}\;Nm{m^2}$$

Rückrechnung auf einen Deckenstreifen mit der Breite 1,00 m

$${\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,x,1\;m}} = {{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x}}} \over {{b_{sys}}}} = {{5,03 \cdot {{10}^{13}}} \over {1,35}} = 3,73 \cdot {10^{13}}\;Nm{m^2}/m$$

Estrich (Annahme h<sub>screed</sub> = 65,0 mm | E<sub>screed</sub> = 25.000 N/mm<sup>2</sup>)

$${\left( {E \cdot I} \right)_{screed}} = {E_{screed}} \cdot {{b \cdot h_{screed}^3} \over {12}} = 25.000 \cdot {{1.000 \cdot {{65,0}^3}} \over {12}} = 5,72 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Summe der Steifigkeiten in Längsrichtung für einen Deckenstreifen mit der Breite b = 1,00 m

$${\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,x,ef}} = {\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,x,1\;m}} + {\left( {E \cdot I} \right)_{screed}} = 3,73 \cdot {10^{13}} + 5,72 \cdot {10^{11}} = 3,79 \cdot {10^{13}}\;Nm{m^2}/m$$

- in Querrichtung (b<sub>y</sub> = 1,00 m)

Berechnung der Biegesteifigleit des Beton in der Querrichtung (Annahme: in Querrichtung bleibt der Beton in Zustand I)

$${\left( {E \cdot I} \right)_{conc,inst,y}} = {E_{cm}} \cdot {{{b_y} \cdot {h_{conc}}^3} \over {12}} = 34.000 \cdot {{1.000 \cdot {{120}^3}} \over {12}} = 4,90 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}/m$$

$${\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,y,ef}} = {\left( {E \cdot I} \right)_{conc,inst,y}} + {\left( {E \cdot I} \right)_{screed}} = 4,90 \cdot {10^{12}} + 5,72 \cdot {10^{11}} = 5,47 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}/m$$

**Berechnung der 1. Eigenfrequenz**

angenommene Breite des Deckenfeldes: b = 10,0 m

Überprüfung, ob eine Querverteilungswirkung gegeben ist:

$${{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,y,ef}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}}}} = {{5,47 \cdot {{10}^{12}}} \over {3,79 \cdot {{10}^{13}}}} = 0,144 > 0,05$$

→ gemäß ÖNORM B 1995-1-1:2019 [(:ref:on_b_1995_1_1_2019)] kann die Querverteilungswirkung berücksichtigt werden.

Verschmieren des Eigengewichtes auf Deckenstreifen mit der Breite b = 1,00 m

$$m = {{{g_k}} \over {{b_{sys}}}} = {{7,50 \cdot {{10}^2}} \over {1,35}} = 556\;kg/{m^2}$$

$${f_1} = {\pi  \over {2 \cdot {l^2}}} \cdot \sqrt {{{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}}} \over m}}  \cdot \sqrt {1 + {{\left( {{l \over b}} \right)}^4} \cdot {{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,y,ef}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}}}}}  = {\pi  \over {2 \cdot {{7,50}^2}}} \cdot \sqrt {{{3,79 \cdot {{10}^{13}} \cdot {{10}^{ - 6}}} \over {556}}}  \cdot \sqrt {1 + {{\left( {{{7,50} \over {10,0}}} \right)}^4} \cdot {{5,47 \cdot {{10}^{12}}} \over {3,79 \cdot {{10}^{13}}}}}  = 7,29 \cdot 1,02 = 7,44\;Hz$$

$${f_{1,\min }} \le {f_1} < {f_{gr}} \to 4,50 < 7,44 < 8,00\;Hz$$

→ es sind das „Steifigkeitskriterium“ und die „Schwingbeschleunigung“ nachzuweisen

**Nachweis des Steifigkeitskriteriums**

$${b_F} = \min \left\{ \matrix{
  Deckenbreite\;b \hfill \cr 
  {l \over {1,1}} \cdot \root 4 \of {{{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,y,ef}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}}}}}  \hfill \cr}  \right. = \min \left\{ \matrix{
  10,0 \hfill \cr 
  {{7,50} \over {1,1}} \cdot \root 4 \of {{{5,47 \cdot {{10}^{12}}} \over {3,79 \cdot {{10}^{13}}}}}  \hfill \cr}  \right. = 4,20\;m$$

$${w_{stat}} = {{F \cdot {l^3}} \over {48 \cdot {{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}} \cdot {b_f}}} = {{1,00 \cdot {{7,50}^3}} \over {48 \cdot 3,79 \cdot {{10}^{13}} \cdot 4,20}} \cdot {10^{12}} = 0,0552\;mm < 0,25\;mm$$

→ das Steifigkeitskriterium ist erfüllt

**Nachweis der Schwingbeschleunigung**

$${M^*} = m \cdot {l \over 2} \cdot {b \over 2} = 556 \cdot {{7,50} \over 2} \cdot {{10,0} \over 2} = 10.400\;kg$$

$$\alpha  = {e^{ - 0,4 \cdot {f_1}}} = {e^{ - 0,4 \cdot 7,44}} = 0,0510$$

mit dem angenommenen Dämpfungsgrad ξ = 0,035

$${a_{rms}} = {{0,4 \cdot \alpha  \cdot {F_0}} \over {2 \cdot \xi  \cdot {M_0}}} = {{0,4 \cdot 0,0510 \cdot 700} \over {2 \cdot 0,035 \cdot 10.400}} = 0,0196\;m/{s^2} < {a_{gr}} = 0,05\;m/{s^2}$$

→ das Beschleunigungkriterium ist erfüllt.

**Zusammenfassung**

Die HBV-Decke erfüllt hinsichtlich des Schwingungsverhaltens die Anforderungen an die Deckenklasse I gemäß ÖNORM B 1995-1-1:2019 [(:ref:on_b_1995_1_1_2019)].

==== Begrenzung der Rissbreite im Beton ====

Der Nachweis der Rissbreitenbeschränkung erfolgt vereinfacht (ohne Berechnung der Rissbreite) unter Anwendung von Tabelle 9.1 aus ONR CEN/TS 19103:2022 [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)] (Auszug aus Tabelle 9.1 aus [(:ref:onr_cen_ts_19103_de_20220401)]).

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vorhandene Bewehrung: AQ 50: A<sub>s,prov</sub> = A<sub>s,längs</sub> = A<sub>s,quer</sub> = 1,96 cm<sup>2</sup>/m (Ø5/100)

Nachweis der Mindestbewehrung

$$A_\text{s,prov} = 1,96 \text{ cm}^2 / \text{m} > A_\text{s,req} = 1,54 \text{ cm}^2 / \text{m}$$

Nachweis Grenzdurchmesser und Höchstwerte der Stababstände

Grenzduchmesser: d<sub>prov</sub> = 5,00 mm < d<sub>req</sub> = 6,00 mm

Achsabstand: a<sub>prov</sub> = 100 mm < a<sub>req</sub> = 150 mm

===== Nachweis für eine Feuerwiderstandsdauer R 90 =====


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