Beispiel BSP-Beton-Verbund

Berechnungsannahmen:

Berechnung gemäß ONR CEN/TS 19103:2022 [1] mit dem Stabwerksmodell nach Rautenstrauch [2]. Vernachlässigung des Ausfalls der Koppelstäbe bei Zugbeanspruchung in der Verbundfuge.

Verwendung der nationalen Festlegungen für Österreich der Grundlagendokumente für Holz (ÖNORM EN 1995-1-1:2019) [3] und Beton (ÖNORM EN 1992-1-1:2015) [4] in den Nachweisen im Grenzzustand der Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit, sofern nicht anders angegeben.

$${f_{\,clt,m,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_{\,clt,m,k}}} \over {{\gamma _M}}} = 0,80 \cdot {{26,4} \over {1,25}} = 16,9\;N/m{m^2}$$

$${f_\text{clt,c,0,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_\text{clt,c,0,k}}} \over {{\gamma _\text{M}}}} = 0,80 \cdot {{21,0} \over {1,25}} = 13,4\text{ N/mm}^2$$

$${f_{\,clt,t,0,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_{\,clt,t,0,k}}} \over {{\gamma _M}}} = 0,80 \cdot {{14,5} \over {1,25}} = 9,28\;N/m{m^2}$$

$${f_{\,clt,v,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_{\,clt,v,k}}} \over {{\gamma _M}}} = 0,80 \cdot {{4,00} \over {1,25}} = 2,56\;N/m{m^2}$$

$${f_{\,clt,r,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_{\,clt,r,k}}} \over {{\gamma _M}}} = 0,80 \cdot {{1,10} \over {1,25}} = 0,704\;N/m{m^2}$$

Druckfestigkeit C35/45 gemäß ÖNORM EN 1992-1-1:2015 [4]

$${f_{cd}} = {\alpha _{cc}} \cdot {{{f_{ck}}} \over {{\gamma _c}}} = 1,00 \cdot {{35,0} \over {1,50}} = 23,3\;N/m{m^2}$$

Grundkombination (t = 0) gemäß EN 1990 [5]

$${q_d}_{,t = 0} = \left( {\sum {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}} + {\gamma _{Q,1}} \cdot {q_{k,1}} + \sum {{\gamma _{Q,i}} \cdot {q_{k,i}}} } \right) \cdot b = \left( {1,35 \cdot \left( {3,00 + 2,00} \right) + 1,50 \cdot 2,5} \right) \cdot 1,00 = 10,5\;kN/m$$

Grundkombination (t = ∞) gemäß ONR CEN/TS 19103:2022-04-01 [1]

Aufgrund des unterschiedlichen Kriechverhaltens des Betons, des Holzes und der Verbundmittel (Kerven) werden die Einwirkungen (Lasten) im Grenzzustand der Tragfähigkeit zum Zeitpunkt t = ∞ in „kriechwirksame“ und „nicht kriechwirksame“ unterschieden. Die resultierenden Spannungen in der BSP-Beton-Verbundkonstruktion ergeben sich gemäß der Technischen Spezifikation [1] durch Überlagerung der Schnittgrößen aus dem quasi-ständigen Lastanteil (q_perm,d) und den Spannungen aus Schwinden, berechnet mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = ∞ sowie der Spannungen aus dem kurz wirkenden Lastanteil (nicht kriechwirksam, q_short,d) berechnet mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = 0.

$${q_{d,t = \infty }} = \left[ {\sum {\left( {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}} \right)} + {\gamma _{Q,i}} \cdot {q_{k,i}}} \right] \cdot b = {q_{perm,d}}+{q_{short,d}}=\left[ {\sum {\left( {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}} \right)} + {\gamma _{Q,i}} \cdot {\psi _{2,i}} \cdot {q_{k,i}}} \right] \cdot b + \left[ {{\gamma _{Q,i}} \cdot \left( {1 - {\psi _{2,i}}} \right) \cdot {q_{k,i}}} \right] \cdot b$$

quasi-ständiger Lastanteil

$${q_{perm,d}} = \left[ {\sum {\left( {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}} \right)} + {\gamma _{Q,i}} \cdot {\psi _{2,i}} \cdot {q_{k,i}}} \right] \cdot b = \left[ {1,35 \cdot \left( {3,00 + 2,00} \right) + 1,50 \cdot 0,30 \cdot 2,50} \right] \cdot 1,00 = 7,88\;kN/m$$

kurzzeitiger Lastanteil

$${q_{short,d}} = \left[ {{\gamma _{Q,i}} \cdot \left( {1 - {\psi _{2,i}}} \right) \cdot {q_{k,i}}} \right] \cdot b = \left[ {1,50 \cdot \left( {1 - 0,30} \right) \cdot 2,50} \right] \cdot 1,00 = 2,63\;kN/m$$

charakteristische Lastkombination

$${q_{Ed,rare}} = \left( {\sum {{g_{k,j}}} + \sum {{q_{k,i}}} } \right) \cdot b = \left( {\left( {3,00 + 2,00} \right) + 2,50} \right) \cdot 1,00 = 7,50\;kN/m$$

quasi-ständige Lastkombination

$${q_{Ed,perm}} = \left( {\sum {{g_{k,j}}} + \sum {\left( {{\psi _{2.i}} \cdot {q_{k,i}}} \right)} } \right) \cdot b = \left( {3,00 + 2,00 + 0,3 \cdot 2,50} \right) \cdot 1,00 = 5,75\;kN/m$$

kurzzeitig wirkende Lastanteil

$${q_{Ed,short}} = \left( {1 - {\psi _{2,i}}} \right) \cdot {q_{k,i}} \cdot b = \left( {1 - 0,30} \right) \cdot 2,50 \cdot 1,00 = 1,75\;kN/m$$

Bemessungswert des E-Moduls

$${E_{clt,0,mean,d,t = 0}} = {{{E_{clt,0,mean}}} \over {{\gamma _M}}} = {{12.000} \over {1,25}} = 9.600\;N/mm^2$$

Querschnittswerte

$${\left( {E \cdot A} \right)_{clt,d,t = 0}} = \sum {\left( {{E_{clt,0,mean,d,t = 0}} \cdot {A_i}} \right)} = 3 \cdot 9.600 \cdot 1.000 \cdot 40,0 = 1,15 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{clt,d,t = 0}} = {E_{clt,0,mean,d,t = 0}} \cdot b \cdot \left[ {\sum {\left( {{{{h_i}^3} \over {12}}} \right)} + \sum {\left( {{h_i} \cdot {e_i}^2} \right)} } \right] = 9.600 \cdot 1.000 \cdot \left[ {3 \cdot {{{{40,0}^3}} \over {12}} + 2 \cdot 40,0 \cdot {{70,0}^2}} \right] = 3,92 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

Bemessungswert des E-Moduls

$${E_{conc,d,t = 0}} = {{{E_{cm}}} \over {{\gamma _c}}} = {{34.000} \over {1,50}} = 22.700\;N/m{m^2}$$

Querschnittswerte (unter Vernachlässigung der Bewehrung in der Steifigkeitsberechnung)

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,t = 0}} = {E_{conc,d,t = 0}} \cdot b \cdot {h_{conc}} = 22.700 \cdot 1.000 \cdot 80,0 = 1,82 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,d,t = 0}} = {E_{conc,d,t = 0}} \cdot b \cdot {{h_{conc}^3} \over {12}} = 22.700 \cdot 1.000 \cdot {{{{80,0}^3}} \over {12}} = 9,69 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

$${K_{u,d,t = 0}} = {K_{ser,d,t = 0}} = {{{K_{ser}}} \over {{\gamma _M}}} = {{1.000} \over {1,25}} = 800\;kN/mm/m$$

$${z_{conc}} = {{\left( {{h_{conc}} + {h_n}} \right)} \over 2} = {{\left( {80,0 + 20,0} \right)} \over 2} = 50,0\;mm$$

$${z_{clt}} = {{\left( {{h_{clt}} - {h_n}} \right)} \over 2} = {{\left( {180 - 20,0} \right)} \over 2} = 80,0\;mm$$

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{t = 0}^ * = {{{K_{u,d,t = 0}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{clt}}^3} \right) \cdot b = {{800 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{50,0}^3} + {{80,0}^3}} \right) \cdot 1,00 = 1,70 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Die Berechnung der Schnittkräfte erfolgte mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes mit den zuvor angeführten Querschnitts- und Kervensteifigkeiten (Beton ungerissen - Zustand I) und der charakteristischen (seltenen) Einwirkungskombination q_Ed,rare= 7,50 kN/m zur Ermittlung der Risstiefe, um damit die Umlagerung der Schnittkräfte vom Beton- auf den Brettsperrholzquerschnitt zu berücksichtigen.

Berechnung des 1. Iterationsschrittes (mit N_conc = -174 kN und M_conc = 3,13 kNm aus dem Stabwerksprogramm)

Vereinfachung: Betonzugfestigkeit f_ctd = 0 N/mm²

$$\sigma = \left[ {{{{N_{conc}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} \pm {{{M_{conc}}} \over {{{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} \cdot z} \right] \cdot {E_{conc,d,t = 0}} \le {f_{ctd}} = 0$$

$$ \to z = - {{{N_{conc}} \cdot {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{conc,d,t = 0}}} \over {{M_{conc}} \cdot {{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} = - {{ - 174 \cdot {{10}^3} \cdot 9,69 \cdot {{10}^{11}}} \over {3,13 \cdot {{10}^6} \cdot 1,82 \cdot {{10}^9}}} = 29,6\;mm$$

$${h_{conc,red}} = {{{h_{conc}}} \over 2} + z = {{80,0} \over 2} + 29,6 = 69,6\;mm$$

$${z_{conc,i = 1}} = {h_{conc}} + {{{h_n}} \over 2} - {{{h_{conc,red}}} \over 2} = 80,0 + {{20,0} \over 2} - {{69,6} \over 2} = 55,2\;mm$$

Berechnung der neuen Querschnittswerte der Betonplatte

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,t = 0}} = {E_{conc,d,t = 0}} \cdot b \cdot {h_{conc,red}} = 22.700 \cdot 1.000 \cdot 69,6 = 1,58 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,d,t = 0}} = {E_{conc,d,t = 0}} \cdot b \cdot {{h_{conc,red}^3} \over {12}} = 22.700 \cdot 1.000 \cdot {{{{69,6}^3}} \over {12}} = 6,38 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

ideelle Biegesteifigkeit einer Schubkonsole

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{t = 0}^ * = {{{K_{u,d,t = 0}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{clt}}^3} \right) \cdot b = {{800 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{55,2}^3} + {{80,0}^3}} \right) \cdot 1,00 = 1,81 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Kontrolle Dekompression

Aus dem 4. Iterationsschritt ergibt sich eine reduzierte überdrückte Betonhöhe von h_conc,red = 67,2 mm. Die Kontrolle der Dekompression wird über die Berechnung der Normalspannungen in der Faser z_i = h_conc,red / 2 = 67,2 / 2 mm geführt.

$$\sigma = \left[ {{{{N_{conc}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} + {{{M_{conc}}} \over {{{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} \cdot z} \right] \cdot {E_{conc,d,t = 0}}= \left[ {{{ - 172 \cdot {{10}^3}} \over {1,53 \cdot {{10}^9}}} + {{1,92 \cdot {{10}^6}} \over {5,74 \cdot {{10}^{11}}}} \cdot {{67,2} \over 2}} \right] \cdot 22.700 = - 2,55 + 2,55 \approx 0\;N/m{m^2}$$

Schnittkräfte und Spannungen für die Grundkombination mit q_d,t=0 = 10,5 kN/m (Nachweis ULS t = 0)

Hinweis: Ermittlung der Schnittkräfte aus der Iteration 4 vom charakteristischen (q_Ed,rare) Lastniveau auf jenes der Grundkombination (q_d,t=0):

N_clt,d = - N_conc,d = N_clt ⋅ q_d / q_Ed,rare = 172 ⋅ 10,5 / 7,50 = 241 kN

M_conc,d = M_conc ⋅ q_d / q_Ed,rare = 1,92 ⋅ 10,5 / 7,50 = 2,69 kNm

M_clt,d = M_clt ⋅ q_d / q_Ed,rare = 13,1 ⋅ 10,5 / 7,50 = 18,3 kNm

N_Kerve1,d = N_Kerve1 ⋅ q_d / q_Ed,rare = 57,8 ⋅ 10,5 / 7,50 = 80,9 kN

N_Kerve2,d = N_Kerve2 ⋅ q_d / q_Ed,rare = 52,4 ⋅ 10,5 / 7,50 = 73,4 kN

N_Kerve3,d = N_Kerve3 ⋅ q_d / q_Ed,rare = 61,8 ⋅ 10,5 / 7,50 = 86,5 kN

Schnittkräfte und Spannungen für die quasi-ständige Kombination q_qu-st,d = 7,88 kN/m und kurzzeitigen Lastanteil q_short,d = 2,63 kN/m

Ermittlung der Spannungen von der Grundkombination auf die quasi-ständige Kombination q_perm,d = 7,88 kN/m und kurzzeitigen Lastanteil q_short,d = 2,63 kN/m mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = 0:

Ermittlung der Kervenkräfte für den kurzzeitigen Lastanteil q_short,d = 2,63 kN/m (Nachweis Kerve ULS t = ∞)

N_Kerve1,d = N_Kerve1 ⋅ q_short,d / q_Ed,rare = 80,9 ⋅ 2,63 / 10,5 = 20,3 kN

N_Kerve2,d = N_Kerve2 ⋅ q_short,d / q_Ed,rare = 73,4 ⋅ 2,63 / 10,5 = 18,4 kN

N_Kerve3,d = N_Kerve3 ⋅ q_short,d / q_Ed,rare = 86,5 ⋅ 2,63 / 10,5 = 21,7 kN

$${\gamma _1} = {{{{\left( {E \cdot A} \right)}_{clt,d,t = 0}} \cdot {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{clt,d,t = 0}} \cdot {N_{clt}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,d,t = 0}} \cdot \left[ {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{clt,d,t = 0}} \cdot {M_{clt}} \cdot \left( {{z_{conc}} + {z_{clt}}} \right) - {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{clt,d,t = 0}} \cdot {N_{clt}}} \right]}}$$

$$ = {{1,15 \cdot {{10}^9} \cdot 3,92 \cdot {{10}^{12}} \cdot 172 \cdot {{10}^3}} \over {1,53 \cdot {{10}^9} \cdot \left[ {1,15 \cdot {{10}^9} \cdot 13,1 \cdot {{10}^6} \cdot \left( {56,4 + 80,0} \right) - 3,92 \cdot {{10}^{12}} \cdot 172 \cdot {{10}^3}} \right]}} = 0,367$$

Koeffizient zur Berücksichtigung der Auswirkungen der Verbundwirkungen auf die Kriechzahl des Betonquerschnitts aus Tab. 7.1 ONR CEN/TS 19103:2022 [1]

für φ₀ = 2,50 und k_def = 0,60

$${\psi _{conc}} = 2,0 - 0,5 \cdot {\gamma _1}^{1,9} = 2,0 - 0,5 \cdot {0,367^{1,9}} = 1,93$$

Querschnittswerte der Brettsperrholzplatte

$${\left( {E \cdot A} \right)_{clt,d,t = \infty }} = \sum {\left( {{E_{clt,0,mean,d,t = \infty }} \cdot {A_i}} \right)} = 3 \cdot 6.000 \cdot 1.000 \cdot 40,0 = 7,20 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{clt,d,t = \infty }} = {E_{clt,0,mean,d,t = \infty }} \cdot b \cdot \left[ {\sum {\left( {{{{h_i}^3} \over {12}}} \right)} + \sum {\left( {{h_i} \cdot {e_i}^2} \right)} } \right] = 6.000 \cdot 1.000 \cdot \left[ {3 \cdot {{{{40,0}^3}} \over {12}} + 2 \cdot 40,0 \cdot {{70,0}^2}} \right] = 2,45 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

Querschnittswerte des Betonquerschnitts (im Zustand II) zum Zeitpunkt t = ∞ mit h_conc,red,t=0 = 67,2 mm unter Vernachlässigung der Bewehrung

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,t = \infty }} = {E_{conc,d,t = \infty }} \cdot b \cdot {h_{conc,red,t = 0}} = 3.900 \cdot 1.000 \cdot 67,2 = 2,62 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,d,t = \infty }} = {E_{conc,d,t = \infty }} \cdot b \cdot {{h_{conc,red,t = 0}^3} \over {12}} = 3.900 \cdot 1.000 \cdot {{{{67,2}^3}} \over {12}} = 9,86 \cdot {10^{10}}\;Nm{m^2}$$

Ermittlung der ideellen Biegesteifigkeit einer Schubkonsole

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{d,t = \infty }^ * = {{{K_{u,d,t = \infty }}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{clt}}^3} \right) \cdot b = {{364 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{56,4}^3} + {{80,0}^3}} \right) \cdot 1,00 = 8,39 \cdot {10^{10}}\;Nm{m^2}$$

$${z_{conc}} + {z_{clt}} = 56,4 + 80,0 = 136\;mm$$

Schnittkräfte berechnet mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes (q_perm,d = 7,88 kN/m)

N_clt,d = - N_conc,d = 144 kN

M_conc,d = 0,810 kNm

M_clt,d = 20,0 kNm

N_Kerve1,d = 48,4 kN

N_Kerve2,d = 44,2 kN

N_Kerve3,d = 51,0 kN

Bemessungswert der effektiven Schwinddehnung

$${\varepsilon _{ef,conc,d}}\left( {t = \infty } \right) = {\gamma _{SH}} \cdot 0,9 \cdot {\varepsilon _{cs,t = \infty }} = 1,35 \cdot 0,9 \cdot \left( { - 0,350} \right) = - 0,425\;‰$$

Schnittkräfte berechnet mit Hilfe eines Stabwerkprogrammes

N_clt,d = - N_conc,d = -33,8 kN

M_conc,d = 0,180 kNm

M_clt,d = 4,41 kNm

N_Kerve1,d = -24,1 kN

N_Kerve2,d = -7,25 kN

N_Kerve3,d = -2,47 kN

Überprüfung, ob die Kräfte und Spannungen nach 3 bis 7 Jahren nachzuweisen sind:

zum Zeitpunkt t = 0

- für die quasi-ständige Einwirkungskombination

$${\eta _{clt,perm,d,t = 0}} = {{{\sigma _{clt,t,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,clt,t,0,d}}}} + {{{\sigma _{clt,m,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,clt,m,d}}}} = {{1,51} \over {9,28}} + {{3,02} \over {16,9}} = 0,163 + 0,179 = 0,342$$

- für den kurzzeitig wirkenden Anteil der Einwirkungskombination

$${\eta _{clt,short,d,t = 0}} = {{{\sigma _{clt,t,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,clt,t,0,d}}}} + {{{\sigma _{clt,m,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,clt,m,d}}}} = {{0,503} \over {9,28}} + {{1,01} \over {16,9}} = 0,0542 + 0,0598 = 0,114$$

zum Zeitpunkt t = ∞

- für die quasi-ständige Einwirkungskombination

$${\eta _{clt,perm,d,t = \infty }} = {{{\sigma _{clt,t,d,\,t = \infty }}} \over {{f_{\,clt,t,0,d}}}} + {{{\sigma _{clt,m,d,t = \infty }}} \over {{f_{\,clt,m,d}}}} = {{1,20} \over {9,28}} + {{4,43} \over {16,9}} = 0,129 + 0,262 = 0,391$$

→ ist der Spannungsnachweis für das BSP bei Erhöhung der Spannungen für die quasi-ständige Einwirkungskombination um 25% weiterhin erfüllt, erübrigt sich der Nachweis zum Zeitpunkt t = 3 und 7 Jahre

t=0

$$1,25 \cdot {\eta _{clt,perm,d;t = 0}} + {\eta _{clt,short,d;t = 0}} = 1,25 \cdot 0,342 + 0,114 = 0,54 < 1$$

t=∞

$$1,25 \cdot {\eta _{clt,perm,d;t = \infty }} + {\eta _{clt,short,d;t = 0}} = 1,25 \cdot 0,391 + 0,114 = 0,60 < 1$$

→ d. h. es sind keine zusätzlichen Zeitpunkte zu betrachten.

Normalspannungsnachweis

maßgebender Nachweis: Zeitpunkt t = ∞

$${{{\sigma _{clt,t,0,d}}} \over {{f_{\,clt,t,0,d}}}} + {{{\sigma _{clt,m,d}}} \over {{f_{\,clt,m,d}}}} = {{1,42} \over {9,28}} + {{6,41} \over {16,9}} = 0,153 + 0,379 = 0,53 < 1$$

Schubspannungsnachweise

Bemessungswert der Einwirkung

$${V_{clt,d}} = {q_d} \cdot {l \over 2} = 10,5 \cdot {{6,40} \over 2} = 33,6\;kN$$

statische Momente

- für den Längsschub

$${\left( {{E_i} \cdot S} \right)_{clt,v}} = {E_{clt,0,mean,d}} \cdot b \cdot \left[ {{h_1} \cdot {{\left( {{h_{CLT}} - {h_1}} \right)} \over 2} + {{{h_3}} \over 2} \cdot {{{h_3}} \over 4}} \right] = 9.600 \cdot 1.000 \cdot \left[ {40,0 \cdot {{\left( {180 - 40,0} \right)} \over 2} + {{40,0} \over 2} \cdot {{40,0} \over 4}} \right] = 2,88 \cdot {10^{10}}\;Nmm$$

- für den Rollschub

$${\left( {{E_i} \cdot S} \right)_{clt,r}} = {E_{clt,0,mean.d}} \cdot b \cdot {t_1} \cdot {1 \over 2} \cdot \left( {{h_{CLT}} - {h_1}} \right) = 9.600 \cdot 1.000 \cdot 40,0 \cdot {1 \over 2} \cdot \left( {180 - 40,0} \right) = 2,69 \cdot {10^{10}}\;m{m^3}$$

Schubspannungen

- Längsschubspannung

$${\tau _{clt,v,d}} = {{{V_{clt,A,d}} \cdot {{\left( {E \cdot S} \right)}_{clt,v}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{clt,d,t = 0}} \cdot b}} = {{33,6 \cdot {{10}^3} \cdot 2,88 \cdot {{10}^{10}}} \over {3,92 \cdot {{10}^{12}} \cdot 1.000}} = 0,247\;N/m{m^2}$$

- Rollschubspannung

$${\tau _{clt,r,d}} = {{{V_{clt,A,d}} \cdot {{\left( {E \cdot S} \right)}_{clt,r}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{clt,d,t = 0}} \cdot b}} = {{33,6 \cdot {{10}^3} \cdot 2,69 \cdot {{10}^{10}}} \over {3,92 \cdot {{10}^{12}} \cdot 1.000}} = 0,231\;N/m{m^2}$$

Nachweise

- Längsschubspannung

$${{{\tau _{clt,d}}} \over {{f_{\,clt,v,d}}}} = {{0,247} \over {2,56}} = 0,096 < 1$$

- Rollschubspannung

$${{{\tau _{clt,r,d}}} \over {{f_{\,clt,r,d}}}} = {{0,231} \over {0,704}} = 0,33 < 1$$

Nachweis der Betondruckspannung in Feldmitte

maßgebender Nachweis: Zeitpunkt t = 0

$${{{\sigma _{conc,o,d,t = 0}}} \over {{f_{\,cd}}}} = {{\left| { - 7,15} \right|} \over {23,3}} = 0,31 < 1$$

Bemessungswert der Einwirkung

$${F_{v,Ed}} = \max \;{N_{Kerve3,d;t = 0}} = 86,5\;kN$$

Berechnung der minimalen und maximalen Druckstrebenneigung

$$\min \;\Theta = \max \left\{ {\matrix{ {\arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {{h_{conc}} + {h_n}} \right)} \over {{l_n} + {l_s}}}} \right)} \hfill \cr {\arctan \left( {{{{h_n}} \over {{l_n}}}} \right)} \hfill \cr } } \right. = \max \left\{ {\matrix{ {\arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {80,0 + 20,0} \right)} \over {200 + 250}}} \right) = 6,34^\circ } \hfill \cr {\arctan \left( {{{20,0} \over {200}}} \right) = 5,71^\circ } \hfill \cr } } \right. = 6,34^\circ $$

$$\max \;\Theta = 45^\circ $$

Bestimmung der Druckstrebenneigung bis zur Abhebesicherung (mit x_screw = 80,0 mm)

$$\Theta = \arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {{h_{conc}} + {h_n}} \right)} \over {{l_n} + {x_{screw}}}}} \right) = \arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {80,0 + 20,0} \right)} \over {200 + 80,0}}} \right) = 10,1^\circ $$

gewählt: Θ = 10,0°

Versagensmodi der Kerve

a) Schubversagen Beton

$$\nu = 0,6 \cdot \left( {1 - {{{f_{\,ck}}} \over {250}}} \right) = 0,6 \cdot \left( {1 - {{35,0} \over {250}}} \right) = 0,516$$

$${f_{\,vcd}} = {{\nu \cdot {f_{\,cd}}} \over {\cot \theta + \tan \theta }} = {{0,516 \cdot 23,3} \over {\cot \left( {10,0} \right) + \tan \left( {10,0} \right)}} = 2,06\;N/m{m^2}$$

$${F_{Rd;\,a}} = {f_{\,vcd}} \cdot {b_n} \cdot {l_n} = 2,06 \cdot 1.000 \cdot 200 = 412.000\;N = 412\;kN$$

b) Druckversagen Beton

$${F_{Rd;\,b}} = {f_{\,cd}} \cdot {b_n} \cdot {h_n} = 23,3 \cdot 1.000 \cdot 20,0 = 466.000\;N = 466\;kN$$

c) Schubversagen BSP

$${l_{v,a,calc}} \le 8 \cdot {h_n} = 8 \cdot 20,0 = \underline {160\;mm} < \min \;{l_{v,a}} = 350\;mm$$

$${F_{Rd;\,c}} = {k_{cr}} \cdot {f_{\,clt,v,d}} \cdot {b_n} \cdot {l_{v,a,calc}} = 1,00 \cdot 2,56 \cdot 1.000 \cdot 160 = 409.600\;N = 410\;kN$$

d) Druckversagen BSP

$${F_{Rd;\,d}} = {f_{\,clt,c,0,d}} \cdot {b_n} \cdot {h_n} = 13,4 \cdot 1.000 \cdot 20,0 = 268.000\;N = 268\;kN$$

Zusammenfassung der Tragfähigkeiten für die jeweiligen Versagensmodi

$${F_{Rd}} = \min \left\{ {\matrix{ {{F_{Rd;\,a}}} \cr {{F_{Rd;\,b}}} \cr {{F_{Rd;\,c}}} \cr {{F_{Rd;\,d}}} \cr } } \right. = \min \left\{ {\matrix{ {412\;kN} \cr {466\;kN} \cr {410\;kN} \cr {268\;kN} \cr } } \right. = 268\;kN$$

Nachweis der Tragfähigkeit der Kerve

$${{{F_{v,Ed}}} \over {{F_{Rd}}}} = {{86,5} \over {268}} = 0,32 < 1$$

Nachweis der Abhebesicherung

$${F_{t,Ed}} = \max \left\{ {\matrix{ {{F_{v,Ed}} \cdot \tan \theta } \hfill \cr {0,1 \cdot {F_{v,Ed}}} \hfill \cr } } \right. = \max \left\{ {\matrix{ {86,5 \cdot \tan \left( {10,0} \right) = 15,3\;kN} \hfill \cr {0,1 \cdot 86,5 = 8,65\;kN} \hfill \cr } = 15,3\;kN} \right.$$

gewählt: Tellerkopfschraube Ø 8 | 160 mm pro m, l_g = l_ef = 100 mm (Gewinde befindet sich vollständig im Brettsperrholz)

Tragfähigkeit einer Schraube auf Herausziehen

$${f_{\,ax,k}} = 0,52 \cdot {d^{ - 0,5}} \cdot {l_{ef}}^{ - 0,1} \cdot {\rho _k}^{0,8} = 0,52 \cdot {8,00^{ - 0,5}} \cdot {100^{ - 0,1}} \cdot {385^{0,8}} = 13,6\;N/m{m^2}$$

$${k_d} = \min \left\{ {{d \over \matrix{ 8 \hfill \cr 1 \hfill \cr} }} \right. = \min \left\{ {{{8,00} \over \matrix{ 8 \hfill \cr 1 \hfill \cr} } = 1,00} \right. = 1,00$$

$${F_{ax,Rd}} = \min \left\{ {\matrix{ {{{{f_{ax,k}} \cdot d \cdot {l_{ef}} \cdot {k_d}} \over {1,2 \cdot {{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }} \cdot {{{k_{\bmod }}} \over {{\gamma _{M,Verb}}}}} \hfill \cr {{A_s} \cdot {{0,9 \cdot {f_{u,k}}} \over {{\gamma _{M\;2}}}}} \hfill \cr } } \right. = \min \left\{ {\matrix{ {{{13,6 \cdot 8,00 \cdot 100 \cdot 1,00} \over {1,2 \cdot {{\cos }^2}90,0 + {{\sin }^2}90}} \cdot {{0,80} \over {1,30}}} \hfill \cr {{{{{\left( {0,65 \cdot 8,00} \right)}^2} \cdot \pi } \over 4} \cdot {{0,9 \cdot 950} \over {1,25}}} \hfill \cr } } \right. = \min \left\{ {\matrix{ {6.695\;N} \hfill \cr {14.526\;N} \hfill \cr } } \right. = 6,70\;kN$$

Berechnung der erforderlichen Schraubenanzahl pro m

$${{{F_{t,Ed}}} \over {n \cdot {F_{ax,Rd}}}} < 1$$

$$\to n = {{{F_{t,Ed}}} \over {{F_{ax,Rd}}}} = {{15,3} \over {6,70}} = 2,28\;Stk$$

gewählt: 3 Stk pro m | Tellerkopfschraube Ø 8 | 160, l_g = 100 mm

Querschnittswerte der Brettsperrholzplatte

$${\left( {E \cdot A} \right)_{clt,inst}} = \sum {\left( {{E_{clt,0,mean,i}} \cdot {A_i}} \right)} = 3 \cdot 12.000 \cdot 40,0 \cdot 1.000 = 1,44 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{clt,inst}} = \sum {\left( {{E_{clt,0,mean,i}} \cdot b \cdot {{h_i^3} \over {12}}} \right)} + \sum {\left( {{E_{clt,0,mean,i}} \cdot {A_i} \cdot {e_i}^2} \right)} = 12.000 \cdot 1.000 \cdot \left[ {3 \cdot {{{{40,0}^3}} \over {12}} + 2 \cdot 40,0 \cdot {{70,0}^2}} \right] = 4,90 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

Querschnittswerte des gerissenen Betonquerschnittes

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,inst}} = {E_{cm}} \cdot b \cdot {h_{conc,red}} = 34.000 \cdot 1.000 \cdot 67,2 = 2,28 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,inst}} = {E_{cm}} \cdot b \cdot {{h_{conc,red}^3} \over {12}} = 34.000 \cdot 1.000 \cdot {{{{67,2}^3}} \over {12}} = 8,60 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

ideelle Biegesteifigkeit einer Schubkonsole

$${z_{conc}} = {h_{conc}} + {{{h_n} - {h_{red,conc}}} \over 2} = 80,0 + {{20,0 - 67,2} \over 2} = 56,4\;mm$$

$${z_{clt}} = {{{h_{clt}} - {h_n}} \over 2} = {{180 - 20,0} \over 2} = 80,0\;mm$$

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{inst}^ * = {{{K_{ser}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{clt}}^3} \right) \cdot b = {{1.000 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{56,4}^3} + {{80,0}^3}} \right) \cdot 1,00 = 2,30 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Anfangsdurchbiegung für die seltene (charakteristische) Einwirkungskombination q_Ed,rare = 7,50 kN/m

Durchbiegung berechnet mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes

w_inst = 8,87 mm

Grenzwert der Anfangsdurchbiegung

$${w_{inst,grenz}} = {l \over {300}} = {{6.400} \over {300}} = 21,3\;mm$$

Nachweis

$${{{w_{inst}}} \over {{w_{inst,grenz}}}} = {{8,87} \over {21,3}} = 0,42 < 1$$

Schnittgrößen berechnet mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes für die Berechnung der nachfolgend berechneten Koeffizienten γ₁ und ψ_conc:

N_{clt,Ed,rare,inst} = 174 kN
M_{clt,Ed,rare,inst} =12,6 kNm

Schnittgrößen des BSP aufgrund des quasi-ständigen Lastanteiles und SLS-Querschnittswerten (Zustand II) zum Zeitpunkt t = 0

q_Ed,perm = 5,75 kN/m

N_{clt,Ed,perm,inst} = N_{clt,Ed,rare,inst} · q_Ed,perm / q_Ed,rare = 174 · 5,75 / 7,50 = 133 kN

M_{clt,Ed,perm,inst} = M_{clt,Ed,rare,inst} · q_Ed,perm / q_Ed,rare = 12,6 · 5,75 / 7,50 = 9,66 kNm

Koeffizient zur Berücksichtigung der Auswirkungen der Verbundwirkungen auf die Kriechzahl des Betonquerschnitts aus (siehe TS, Absch. 7.1.2 [1])

$${\gamma _1} = {{{{\left( {E \cdot A} \right)}_{clt,inst}} \cdot {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{clt,inst}} \cdot {N_{clt,Ed,perm,inst}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,inst}} \cdot \left[ {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{clt,inst}} \cdot {M_{clt,Ed,perm,inst}} \cdot \left( {{z_{conc}} + {z_{clt}}} \right) - {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{clt,inst}} \cdot {N_{clt,Ed,perm,inst}}} \right]}}$$

$$ = {{1,44 \cdot {{10}^9} \cdot 4,90 \cdot {{10}^{12}} \cdot 133 \cdot {{10}^3}} \over {2,28 \cdot {{10}^9} \cdot \left[ {1,44 \cdot {{10}^9} \cdot 9,66 \cdot {{10}^6} \cdot \left( {56,4 + 80,0} \right) - 4,90 \cdot {{10}^{12}} \cdot 133 \cdot {{10}^3}} \right]}} = 0,330$$

$${\psi _{conc}} = 2,0 - 0,5 \cdot {\gamma _1}^{1,9} = 2,0 - 0,5 \cdot {0,330^{1,9}} = 1,94$$

Querschnittswerte der Brettsperrholzplatte

$${\left( {E \cdot A} \right)_{clt,fin}} = \sum {\left( {{E_{clt,0,mean,fin,i}} \cdot {A_i}} \right)} = 3 \cdot 7.500 \cdot 40,0 \cdot 1.000 = 9,00 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{clt,fin}} = \sum {\left( {{E_{clt,0,mean,fin,i}} \cdot b \cdot {{h_i^3} \over {12}}} \right)} + \sum {\left( {{E_{clt,0,mean,fin,i}} \cdot b \cdot {A_i} \cdot {e_i}^2} \right)} = 7.500 \cdot 1.000 \cdot \left[ {3 \cdot {{{{40,0}^3}} \over {12}} + 2 \cdot 40,0 \cdot {{70,0}^2}} \right] = 3,06 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

Querschnittswerte des gerissenen Betonquerschnittes

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,fin}} = {E_{conc,fin}} \cdot b \cdot {h_{conc,red}} = 5.810 \cdot 1.000 \cdot 67,2 = 3,90 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,fin}} = {E_{conc,fin}} \cdot b \cdot {{h_{conc,red}^3} \over {12}} = 5.810 \cdot 1.000 \cdot {{{{67,2}^3}} \over {12}} = 1,47 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Ermittlung der ideellen Biegesteifigkeit einer Schubkonsole

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{fin}^ * = {{{K_{ser,fin}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{clt}}^3} \right) \cdot b = {{455 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{56,4}^3} + {{80,0}^3}} \right) \cdot 1,00 = 1,05 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Durchbiegung aufgrund des quasi-ständigen Einwirkungsanteils (q_Ed,perm = 5,75 kN/m)

w_perm,fin = 17,0 mm

Durchbiegung aufgrund des Betonschwindens (zum Zeitpunkt t = ∞)

$${\varepsilon _{conc,fin}} = 0,9 \cdot {\varepsilon _{cs,t = \infty }} = 0,9 \cdot \left( { - 0,350} \right) = - 0,315\;‰$$

w_SH,fin = 6,98 mm

Berechnung der gesamten Enddurchbiegung

$${w_{net,fin}} = {w_{perm,fin}} + {w_{SH,fin}} - {w_c} = 17,0 + 6,98 - 0 = 24,0\;mm$$

Grenzwert der Enddurchbiegung

$${w_{net,fin,grenz}} = {l \over {250}} = {{6.400} \over {250}} = 25,6\;mm$$

Nachweis

$${{{w_{net,fin}}} \over {{w_{net,fin,grenz}}}} = {{24,0} \over {25,6}} = 0,94 < 1$$

- in Längsrichtung

Rückrechnung der effektiven Steifigkeit in Deckenlängsrichtung aus der Durchbiegungsberechnung zum Zeitpunkt t = 0

mit $w = {5 \over {384}} \cdot {{q \cdot {l^4}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_x}}}$

mit w_inst = 8,87 mm und q_Ed,rare = 7,50 kN/m aus dem Nachweis der vertikalen Anfangsdurchbiegung

$$ \to {\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,x}} = {5 \over {384}} \cdot {{q \cdot {l^4}} \over w} = {5 \over {384}} \cdot {{7,50 \cdot {{6.400}^4}} \over {8,87}} = 1,85 \cdot {10^{13}}\;Nm{m^2}$$

Estrich (Annahme h_screed = 65,0 mm | E_screed = 25.000 N/mm²)

$${\left( {E \cdot I} \right)_{screed}} = {E_{screed}} \cdot {{b \cdot h_{screed}^3} \over {12}} = 25.000 \cdot {{1.000 \cdot {{65,0}^3}} \over {12}} = 5,72 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Summe der Steifigkeiten in Längsrichtung

$${\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,x,ef}} = {\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,x}} + {\left( {E \cdot I} \right)_{screed}} = 1,85 \cdot {10^{13}} + 5,72 \cdot {10^{11}} = 1,91 \cdot {10^{13}}\;Nm{m^2}$$

- in Querrichtung (b_y = 1,00 m)

Biegesteifigkeit der Brettsperrholzplatte

$${\left( {E \cdot I} \right)_{clt,y}} = {E_{clt,0,mean,inst}} \cdot {b_y} \cdot \left[ {2 \cdot {{{h_y}^3} \over {12}} + 2 \cdot {h_y} \cdot {e_{z,i}}^2} \right] = 12.000 \cdot 1.000 \cdot \left[ {2 \cdot {{{{30,0}^3}} \over {12}} + 2 \cdot 30,0 \cdot {{35,0}^2}} \right] = 9,36 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Biegesteifigkeit des Betons in Querrichtung (Annahme: in Querrichtung bleibt der Beton im Zustand I)

$${\left( {E \cdot I} \right)_{conc,inst,y}} = {E_{cm}} \cdot {{{b_y} \cdot h_{conc}^3} \over {12}} = 34.000 \cdot {{1.000 \cdot {{80,0}^3}} \over {12}} = 1,45 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

$${\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,y,ef}} = {\left( {E \cdot I} \right)_{clt,y}} + {\left( {E \cdot I} \right)_{conc,inst,y}} = 9,36 \cdot {10^{11}} + 1,45 \cdot {10^{12}} = 2,39 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

Berechnung der 1. Eigenfrequenz

angenommene Breite des Deckenfeldes: b = 8,00 m

Überprüfung, ob eine Querverteilungswirkung gegeben ist:

$${{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,y,ef}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}}}} = {{2,39 \cdot {{10}^{12}}} \over {1,91 \cdot {{10}^{13}}}} = 0,125 > 0,05$$

→ gemäß ÖNORM B 1995-1-1:2019 [3] kann die Querverteilungswirkung berücksichtigt werden.

$${f_1} = {\pi \over {2 \cdot {l^2}}} \cdot \sqrt {{{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}}} \over m}} \cdot \sqrt {1 + {{\left( {{l \over b}} \right)}^4} \cdot {{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,y,ef}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}}}}} = {\pi \over {2 \cdot {{6,40}^2}}} \cdot \sqrt {{{1,91 \cdot {{10}^{13}} \cdot {{10}^{ - 6}}} \over {500}}} \cdot \sqrt {1 + {{\left( {{{6,40} \over {8,00}}} \right)}^4} \cdot {{2,39 \cdot {{10}^{12}}} \over {1,91 \cdot {{10}^{13}}}}} = 7,50 \cdot 1,03 = 7,73\;Hz$$

$${f_{1,\min }} \le {f_1} < {f_{gr}} \to 4,50 < 7,73 < 8,00\;Hz$$

→ es sind das „Steifigkeitskriterium“ und die „Schwingbeschleunigung“ nachzuweisen

Nachweis des Steifigkeitskriteriums

$${b_F} = \min \left\{ \matrix{ Deckenbreite\;b \hfill \cr {l \over {1,1}} \cdot \root 4 \of {{{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,y,ef}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}}}}} \hfill \cr} \right. = \min \left\{ \matrix{ 8,00 \hfill \cr {{6,40} \over {1,1}} \cdot \root 4 \of {{{2,39 \cdot {{10}^{12}}} \over {1,91 \cdot {{10}^{13}}}}} \hfill \cr} \right. = 3,46\;m$$

$${w_{stat}} = {{F \cdot {l^3}} \over {48 \cdot {{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}} \cdot {b_F}}} = {{1,00 \cdot {{6,40}^3}} \over {48 \cdot 1,91 \cdot {{10}^{13}} \cdot 3,46}} \cdot {10^{12}} = 0,0826\;mm < 0,25\;mm$$

→ das Steifigkeitskriterium ist erfüllt

Nachweis der Schwingbeschleunigung

$${M^*} = m \cdot {l \over 2} \cdot {b \over 2} = 500 \cdot {{6,40} \over 2} \cdot {{8,00} \over 2} = 6400\;kg$$

$$\alpha = {e^{ - 0,4 \cdot {f_1}}} = {e^{ - 0,4 \cdot 7,73}} = 0,0454$$

mit dem angenommenen Dämpfungsgrad ξ = 0,035

$${a_{rms}} = {{0,4 \cdot \alpha \cdot {F_0}} \over {2 \cdot \xi \cdot {M_0}}} = {{0,4 \cdot 0,0454 \cdot 700} \over {2 \cdot 0,035 \cdot 6.400}} = 0,0284\;m/{s^2} < {a_{gr}} = 0,05\;m/{s^2}$$

→ das Beschleunigungkriterium ist erfüllt.

Zusammenfassung

Die HBV-Decke erfüllt hinsichtlich des Schwingungsverhaltens die Anforderungen an die Deckenklasse I gemäß ÖNORM B 1995-1-1:2019 [3].