Brand

außergwöhnliche Lastfallkombination im Brandfall

$${q_{d,fi}} = \left( {\sum {{g_{k,j}}} + \sum {{\psi _{2,i}} \cdot {q_{k,i}}} } \right) \cdot b = \left( {\left( {3,00 + 2,00} \right) + 0,30 \cdot 2,50} \right) \cdot 1,00 = 5,75\;kN/m$$

Festigkeitskennwerte nach ÖNORM B 1995-1-2:2011 [1]

$${f_{clt,m,d,fi}} = {k_{fi}} \cdot {k_{\bmod ,fi}} \cdot {{{f_{clt,m,k}}} \over {{\gamma _{M,fi}}}} = 1,15 \cdot 1,00 \cdot {{26,4} \over {1,00}} = 30,4\;N/m{m^2}$$

$${f_{clt,c,0,d,fi}} = {k_{fi}} \cdot {k_{\bmod ,fi}} \cdot {{{f_{clt,c,0,k}}} \over {{\gamma _{M,fi}}}} = 1,15 \cdot 1,00 \cdot {{21,0} \over {1,00}} = 24,2\;N/m{m^2}$$

$${f_{clt,t,0,d,fi}} = {k_{fi}} \cdot {k_{\bmod ,fi}} \cdot {{{f_{clt,t,0,k}}} \over {{\gamma _{M,fi}}}} = 1,15 \cdot 1,00 \cdot {{14,5} \over {1,00}} = 16,7\;N/m{m^2}$$

$${f_{clt,v,d,fi}} = {k_{fi}} \cdot {k_{\bmod ,fi}} \cdot {{{f_{clt,v,k}}} \over {{\gamma _{M,fi}}}} = 1,15 \cdot 1,00 \cdot {{4,00} \over {1,00}} = 4,60\;N/m{m^2}$$

$${f_{clt,r,d,fi}} = {k_{fi}} \cdot {k_{\bmod ,fi}} \cdot {{{f_{clt,r,k}}} \over {{\gamma _{M,fi}}}} = 1,15 \cdot 1,00 \cdot {{1,10} \over {1,00}} = 1,27\;N/m{m^2}$$

gemäß ÖNORM EN 1992-1-2:2019 [2]

$${f_{cd,fi}} = {{{f_{cd}}} \over {{\gamma _{M,fi}}}} = {{35,0} \over {1,00}} = 35,0\;N/m{m^2}$$

Berechnung der Abbrandtiefe

Verwendeter Klebstoff: PU (nicht hochtemperaturbeständig) → Anwendung Treppenmodell (Abfallen von verkohlten Schichten an der Klebefuge, doppelte Abbrandrate bis zu einem Abbrand von 25 mm)

Abbrandrate: β = 0,65 mm/min

1. Schicht (h₁ = 40,0 mm)

$${t_{1,PU}} = {{{h_1}} \over \beta } = {{40,0} \over {0,65}} = 61,5\;\min $$

$${d_{char,1,PU}} = {h_1}$$

2. Schicht (h₂ = 30,0 mm)

$${t_{2,25\;mm,PU}} = {{25,0} \over \beta } = {{25,0} \over {1,30}} = 19,2\;\min $$

$${t_{2,PU}} = {t_{2,25\;mm,PU}} + {{{h_2} - 25,0} \over \beta } = 19,2 + \underbrace {{{30,0 - 25,0} \over {0,65}}}_{7,69} = 26,9\;\min$$

3. Schicht (h₃ = 40,0 mm)

$${t_{3,PU}} = t - {t_{1,PU}} - {t_{2,PU}} = 90 - 61,5 - 26,9 = 1,60\;\min $$

$${d_{char,3,PU}} = {t_{3,PU}} \cdot \beta = 1,60 \cdot 1,30 = 2,08\;mm$$

Bemessungswert der Abbrandtiefe

$$\sum {{d_{char,i,PU}}} = {d_{char,1,PU}} + {d_{char,2,PU}} + {d_{char,3,PU}} = 40,0 + 30,0 + 2,08 = 72,1\;mm$$

„zero-strength layer“

$$d_0 = 7,00 \;mm$$

ideelle Abbrandtiefe

$$d_{ef,PU} = \sum {{d_{char,i,PU}}} + {k_0} \cdot {d_0} = 72,1 + 1,00 \cdot 7,00 = 79,1\;mm$$

Darstellung des Temperaturverlaufs über die Höhe des HBV-Elements unter den oben genannten Randbedingungen → Kerve und Beton bleiben „kalt“

Berechnung der Querschnittwerte BSP

$${E_{clt,d,fi}} = {k_{fi}} \cdot {{{E_{0,05}}} \over {{\gamma _{M,fi}}}} = 1,15 \cdot {{5/6 \cdot 12.000} \over {1,00}} = 11.500\;N/m{m^2}$$

Schwerpunkt (Berechnung von der Oberkante)

$${x_{s,fi}} = {{\sum {{A_i} \cdot {x_i}} } \over {\sum {{A_i}} }} = {{1.000 \cdot \left( {40,0 \cdot 20,0 + 30,9 \cdot \left( {40,0 + 30,0 + 0,5 \cdot 30,9} \right)} \right)} \over {1.000 \cdot \left( {40,0 + 30,9} \right)}} = 48,5\;mm$$

$${\left( {E \cdot A} \right)_{clt,d,fi}} = \sum {\left( {{E_{clt,d,fi}} \cdot {A_i}} \right)} = 11.500 \cdot 1.000 \cdot \left( {40,0 + 30,9} \right) = 8,15 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot I} \right)_{clt,d,fi}} = {E_{clt,d,fi}} \cdot b \cdot \left[ {\sum {\left( {{{{h_i}^3} \over {12}}} \right)} + \sum {\left( {{h_i} \cdot {{({x_{s,fi}} - {x_i})}^2}} \right)} } \right] = 11.500 \cdot 1.000 \cdot \left[ {{{{{40,0}^3} + {{30,9}^3}} \over {12}} + 40,0 \cdot {{\left( {48,5 - 20,0} \right)}^2} + 30,9 \cdot {{\left( {48,5 - 85,5} \right)}^2}} \right] = 9,50 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Berechnung der Querschnittswerte Beton (Zustand I)

$${E_{conc,d,fi}} = {{{E_{cm}}} \over {{\gamma _{M,fi}}}} = {{34.000} \over {1,00}} = 34.000\;N/m{m^2}$$

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,fi}} = {E_{conc,d,fi}} \cdot b \cdot {h_{conc}} = 34.000 \cdot 1.000 \cdot 80,0 = 2,72 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot I} \right)_{conc,d,fire}} = {E_{conc,d,fi}} \cdot {{b \cdot h_{conc}^3} \over {12}} = 34.000 \cdot {{1.000 \cdot {{80,0}^3}} \over {12}} = 1,45\; \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

Kerve

$${K_{fi}} = {\eta _{K,fi}} \cdot {K_{ser}} = 1,0 \cdot 1.000 = 1.000\;kN/mm/m$$

$${z_{clt,fi}} = {x_{s,fi}} - {{{h_n}} \over 2} = 48,5 - {{20,0} \over 2} = 38,5\;mm$$

$${z_{conc,fi}} = {{\left( {{h_{conc}} + {h_n}} \right)} \over 2} = {{\left( {80,0 + 20,0} \right)} \over 2} = 50,0\;mm$$

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{fi}^ * = {{{K_{fi}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc,fi}}^3 + {z_{clt,fi}}^3} \right) = {{1.000 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{50,0}^3} + {{38,5}^3}} \right) = 6,07 \cdot {10^{10}}\;Nm{m^2}$$

Berechnung der Schnittkräfte mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes mit den oben angeführten Querschnitts- und Kervensteifigkeiten und der außergewöhnlichen Einwirkungskombination q_Ed,fi= 5,75 kN/m zur Ermittlung der Risstiefe um somit die Umlagerung der Schnittkräfte vom Betonquerschnitt auf den Brettsperrholzquerschnitt zu berücksichtigen.

Kontrolle Dekompression

Aus dem 5. Iterationsschritt ergibt sich eine reduzierte überdrückte Betonhöhe von h_conc,red = 39,1 mm. Die Kontrolle der Dekompression wird über die Berechnung der Normalspannungen in der Faser z_i = h_conc,red / 2 = 39,1 / 2 mm geführt.

$$\sigma = \left[ {{{{N_{conc,fi}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,fi}}}} + {{{M_{conc,fi}}} \over {{{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{conc,fi}}}} \cdot z} \right] \cdot {E_{conc,fi}}= \left[ {{{ - 193 \cdot {{10}^3}} \over {1,33 \cdot {{10}^9}}} + {{1,26 \cdot {{10}^6}} \over {1,69 \cdot {{10}^{11}}}} \cdot {{39,1} \over 2}} \right] \cdot 34.000 = - 4,93 + 4,96 \approx 0\;N/m{m^2}$$

Schnittkräfte und Spannungen

Koeffizient zur Berücksichtigung der Auswirkungen der Verbundwirkungen auf die Kriechzahl des Betonquerschnitts aus (siehe TS, Absch. 7.1.2 [4])

$${\gamma _1} = {{{{\left( {E \cdot A} \right)}_{clt,d,fi,t = 0}} \cdot {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{clt,d,fi,t = 0}} \cdot {N_{clt,fi}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,d,fi,t = 0}} \cdot \left[ {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{clt,d,fi,t = 0}} \cdot {M_{clt,fi}} \cdot \left( {{z_{conc,fi}} + {z_{clt,fi}}} \right) - {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{clt,d,fi,t = 0}} \cdot {N_{clt,fi}}} \right]}} =$$

$${{8,15 \cdot {{10}^8} \cdot 9,50 \cdot {{10}^{11}} \cdot 193 \cdot {{10}^3}} \over {1,33 \cdot {{10}^9} \cdot \left[ {8,15 \cdot {{10}^8} \cdot 7,07 \cdot {{10}^6} \cdot \left( {70,5 + 38,5} \right) - 9,50 \cdot {{10}^{11}} \cdot 193 \cdot {{10}^3}} \right]}} = 0,253$$

Koeffizient zur Berücksichtigung der Auswirkungen der Verbundwirkungen auf die Kriechzahl des Betonquerschnitts aus Tab. 7.1 ONR CEN/TS 19103:2022 [4]

mit φ= 2,50 und k_def = 0,60

$${\psi _{conc,fi}} = 2,0 - 0,5 \cdot {\gamma _1}^{1,9} = 2,0 - 0,5 \cdot {0,253^{1,9}} = 1,96$$

Querschnittswerte der Brettsperrholzplatte

$${\left( {E \cdot A} \right)_{clt,d,fi,t = \infty }} = \sum {\left( {{E_{clt,d,fi,t = \infty }} \cdot {A_i}} \right)} = 7.188 \cdot 1.000 \cdot (40,0 + 30,9) = 5,10 \cdot {10^8}\;N$$

Schwerpunkt (Berechnung von der Oberkante)

$${x_{s,fi}} = {{\sum {{A_i} \cdot {x_i}} } \over {\sum {{A_i}} }} = {{1.000 \cdot \left( {40,0 \cdot 20,0 + 30,9 \cdot \left( {40,0 + 30,0 + 0,5 \cdot 30,9} \right)} \right)} \over {1.000 \cdot \left( {40,0 + 30,9} \right)}} = 48,5\;mm$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{clt,d,fi,t = \infty }} = {E_{clt,d,fi,t = \infty }} \cdot b \cdot \left[ {\sum {\left( {{{{h_i}^3} \over {12}}} \right)} + \sum {\left( {{h_i} \cdot {e_i}^2} \right)} } \right]=$$

$$ = 7.188 \cdot 1.000 \cdot \left[ {{{{{40,0}^3} + {{30,9}^3}} \over {12}} + 40,0 \cdot {{\left( {48,5 - 20,0} \right)}^2} + 30,9 \cdot {{\left( {48,5 - 85,5} \right)}^2}} \right] = 5,94 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Berechnung der Querschnittswerte Beton

mit der gerissenen Höhe h_conc,red,fi = 39,1 mm

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,fi,t = \infty }} = {E_{conc,d,fi,t = \infty }} \cdot b \cdot {h_{conc,red,fi}} = 5.760 \cdot 1.000 \cdot 39,1 = 2,25 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,d,fi,t = \infty }} = {E_{conc,d,fi,t = \infty }} \cdot b \cdot {{h_{conc,red,fi}^3} \over {12}} = 5.760 \cdot 1.000 \cdot {{{{39,1}^3}} \over {12}} = 2,87 \cdot {10^{10}}\;N/m{m^2}$$

ideelle Biegesteifigkeit de Schubkonsole

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{d,fi,t = \infty }^ * = {{{K_{fi}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc,fi}}^3 + {z_{clt,fi}}^3} \right) \cdot b = {{455 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{70,5}^3} + {{38,5}^3}} \right) \cdot 1,00 = 6,18 \cdot {10^{10}}\;Nm{m^2}$$

$${z_{conc,fi}} + {z_{clt,fi}} = 70,5 + 38,5 = 109\;mm$$

Schnittkräfte berechnet mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes

N_clt,d = - N_conc,d = 168 kN

M<sub<conc,d</sub> = 0,51 kNm

M_clt,d = 10,5kNm

N_Kerve1,d = 56,1 kN

N_Kerve2,d = 51,2 kN

N<sub>Kerve3,d<sub> = 60,7 kN

Bemessungswert der effektiven Schwinddehnung

$${\varepsilon _{ef,conc,d,fi}}\left( {t = \infty } \right) = {\gamma _{SH,fi}} \cdot 0,9 \cdot {\varepsilon _{cs,t = \infty }} = 1,00 \cdot 0,9 \cdot \left( { - 0,350} \right) = - 0,315\;‰$$

Schnittkräfte berechnet mit Hilfe eines Stabwerkprogrammes

N_clt,d = - N_conc,d = -12,6kN

M_conc,d = 0,06 kNm

M_clt,d = 1,26 kNm

N_Kerve1,d = -9,25 kN

N_Kerve2,d = -2,59 kN

N_Kerve3,d = -0,790 kN

Normalspannungsnachweis

maßgebender Nachweis: Zeitpunkt t = ∞

$${{{\sigma _{clt,t,0,d,fi}}} \over {{f_{\,clt,t,0,d,fi}}}} + {{{\sigma _{clt,m,d,fi}}} \over {{f_{\,clt,m,d,fi}}}} = {{2,19} \over {16,7}} + {{7,47} \over {30,4}} = 0,131 + 0,245 = 0,38 < 1$$

Nachweis der Betondruckspannung in Feldmitte

maßgebender Nachweis: Zeitpunkt t = 0

$${{{\sigma _{conc,o,d,fi;t = 0}}} \over {{f_{\,cd,fi}}}} = {{\left| { - 9,89} \right|} \over {35,0}} = 0,28 \le 1$$

Bemessungswert der Einwirkung

$${F_{v,Ed,fi}} = \max \;{N_{Kerve3,d;t = 0,fi}} = 72,8\;kN$$

Nachweis der Kerve

Druckstrebenneigung

$$\min \;\theta = \max \left\{ {\matrix{ {\arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {{h_{conc}} + {h_n}} \right)} \over {{l_n} + {l_s}}}} \right)} \hfill \cr {\arctan \left( {{{{h_n}} \over {{l_n}}}} \right)} \hfill \cr } } \right. = \max \left\{ {\matrix{ {\arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {80,0 + 20,0} \right)} \over {200 + 250}}} \right) = 6,34^\circ } \hfill \cr {\arctan \left( {{{20,0} \over {200}}} \right) = 5,71^\circ } \hfill \cr } } \right. = 6,34^\circ $$

$$\max \;\theta = 45^\circ $$

gemäß TS 19102:2021 Abschnitt 10.3.4.2 (4): Die Lage des Verbindungsmittels sollte mit dem Winkel θ abgestimmt sein

$$\theta = \arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {{h_{conc}} + {h_n}} \right)} \over {{l_n} + {x_{screw}}}}} \right) = \arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {80,0 + 20,0} \right)} \over {200 + 80,0}}} \right) = 10,1^\circ $$

gewählt: θ = 10,0°

Versagensmodi der Kerve

a) Schubversagen Beton

$$\nu = 0,6 \cdot \left( {1 - {{{f_{\,ck}}} \over {250}}} \right) = 0,6 \cdot \left( {1 - {{35,0} \over {250}}} \right) = 0,516$$

$${f_{\,vcd,fi}} = {{\nu \cdot {f_{\,cd,fi}}} \over {\cot \theta + \tan \theta }} = {{0,516 \cdot 35,0} \over {\cot \left( {10,0} \right) + \tan \left( {10,0} \right)}} = 3,09\;N/m{m^2}$$

$${F_{Rd;\,a,fi}} = {f_{\,vcd,fi}} \cdot {b_n} \cdot {l_n} = 3,09 \cdot 1.000 \cdot 200 = 618.000\;N = 618\;kN$$

b) Druckversagen Beton

$${F_{Rd;\,b,fi}} = {f_{\,cd,fi}} \cdot {b_n} \cdot {h_n} = 35,0 \cdot 1.000 \cdot 20,0 = 700.000\;N = 700\;kN$$

c) Schubversagen BSP

$${l_{v,a,calc}} \le 8 \cdot {h_n} = 8 \cdot 20,0 = \underline {160\;mm} < \min \;{l_{v,a}} = 250\;mm$$

$${F_{Rd;\,c,fi}} = {k_{cr}} \cdot {f_{\,clt,v,d,fi}} \cdot {b_n} \cdot {l_{v,a,calc}} = 1,00 \cdot 4,60 \cdot 1.000 \cdot 160 = 736.000\;N = 736\;kN$$

d) Druckversagen BSP

$${F_{Rd;\,d,fi}} = {f_{\,clt,c,0,d,fi}} \cdot {b_n} \cdot {h_n} = 24,2 \cdot 1.000 \cdot 20,0 = 484.000\;N = 484\;kN$$

Zusammenfassung der Tragfähigkeiten für die jeweiligen Versagensmodi

$${F_{Rd,fi}} = \min \left\{ {\matrix{ {{F_{Rd;\,a,fi}}} \cr {{F_{Rd;\,b,fi}}} \cr {{F_{Rd;\,c,fi}}} \cr {{F_{Rd;\,d,fi}}} \cr } } \right. = \min \left\{ {\matrix{ {618\;kN} \cr {700\;kN} \cr {736\;kN} \cr {484\;kN} \cr } } \right. = 484\;kN$$

Nachweis der Tragfähigkeit der Kerve

$${{{F_{v,Ed,fi}}} \over {{F_{Rd,fi}}}} = {{72,8} \over {484}} = 0,15 < 1$$

Nachweis Abhebesicherung

$${F_{t,Ed,fi}} = \max \left\{ {\matrix{ {{F_{v,Ed,fi}} \cdot \tan \theta } \hfill \cr {0,1 \cdot {F_{v,Ed,fi}}} \hfill \cr } } \right. = \max \left\{ {\matrix{ {72,8 \cdot \tan \left( {10,0} \right) = 12,8\;kN} \hfill \cr {0,1 \cdot 72,8 = 7,28\;kN} \hfill \cr } = 12,8\;kN} \right.$$

Überprüfung der im Kaltzustand gewählten Anzahl von Tellerkopfschrauben für den Brandfall (3x Tellerkopfschraube Ø 8|160 mm, l_g = l_ef = 100 mm)

Die Schraube wurde in ihrer Länge so gewählt, dass diese im Brandfall nicht aus der Brettsperrholzpatte herausragt.

$${f_{\,ax,k,fi}} = {k_{fi}} \cdot 0,52 \cdot {d^{ - 0,5}} \cdot {l_{ef}}^{ - 0,1} \cdot {\rho _k}^{0,8} = 1,05 \cdot 0,52 \cdot {8,00^{ - 0,5}} \cdot {100^{ - 0,1}} \cdot {385^{0,8}} = 14,3\;N/m{m^2}$$

$${k_d} = \min \left\{ {{d \over \matrix{ 8 \hfill \cr 1 \hfill \cr} }} \right. = \min \left\{ {{{8,00} \over \matrix{ 8 \hfill \cr 1 \hfill \cr} } = 1,00} \right. = 1,00$$

$${F_{ax,d,fi}} = \min \left\{ {\matrix{ {{{{f_{ax,k,fi}} \cdot d \cdot {l_{ef}} \cdot {k_d}} \over {1,2 \cdot {{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }} \cdot {{{k_{\bmod ,fi}}} \over {{\gamma _{M,Verb,fi}}}}} \hfill \cr {{A_s} \cdot {{0,9 \cdot {f_{u,k}}} \over {{\gamma _{M,fi}}}}} \hfill \cr } } \right. = \min \left\{ {\matrix{ {{{14,3 \cdot 8,00 \cdot 100 \cdot 1,00} \over {1,2 \cdot {{\cos }^2}90,0 + {{\sin }^2}90}} \cdot {{1,00} \over {1,00}}} \hfill \cr {{{{{\left( {0,65 \cdot 8,00} \right)}^2} \cdot \pi } \over 4} \cdot {{0,9 \cdot 950} \over {1,00}}} \hfill \cr } } \right. = \min \left\{ {\matrix{ {11.400\;N} \hfill \cr {18.200\;N} \hfill \cr } } \right. = 11,4\;kN$$

$${R_{ax,d,fi}} = n \cdot {F_{ax,d,fi}} = 3 \cdot 11,4 = 34,2\;kN$$

Nachweis

$${{{F_{t,Ed,fi}}} \over {{R_{ax,d,fi}}}} = {{12,8} \over {34,2}} = 0,37 < 1$$