Beispiel Dippelbaum-Beton-Verbund

Angabe

Überprüfung Randbedingungen

Aufteilung der Verbindungsmittel erfolgt entsprechend dem Querkraftverlauf in zwei Bereiche (n = 2)

Überprüfung der max. Verbindungsmittelabstände für das γ-Verfahren nach ONR CEN/TS 19103:2022 [1] & ÖNORM B 1995-1-1:2019 - Anhang B [2]

$${s_{\max ,req}} = 0,05 \cdot l = 0,05 \cdot 6.200 = 310\;mm$$

$${s_{\max ,prov}} \le {s_{\max ,req}} \to 300\;mm \le 310\;mm\;✔$$

$${s_{\max ,prov}} \le 4 \cdot {s_{\min ,prov}} \to 300\;mm \le 4 \cdot 150 = 600\;mm\;✔$$

Überprüfung Randabstände Schraube nach ÖNORM B 1995-1-1:2019 [2]

Festigkeitskennwerte

Vollholz

Festigkeitskennwerte C24 lt. gemäß ÖNORM EN 338:2016 [3]

$${f_{m,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_{m,k}}} \over {{\gamma _M}}} = 0,80 \cdot {{24,0} \over {1,30}} = 14,8\;N/m{m^2}$$

$${f_{t,0,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_{t,0,k}}} \over {{\gamma _M}}} = 0,80 \cdot {{14,5} \over {1,30}} = 8,92\;N/m{m^2}$$

$${f_{\;v,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_{\;v,k}}} \over {{\gamma _M}}} = 0,80 \cdot {{2,30} \over {1,30}} = 1,42\;N/m{m^2}$$

Beton

Druckfestigkeit C30/37 gemäß ÖNORM EN 1992-1-1:2015 [4]

$${f_{cd}} = {\alpha _{cc}} \cdot {{{f_{ck}}} \over {{\gamma _c}}} = 1,00 \cdot {{30,0} \over {1,50}} = 20,0\;kN/m{m^2}$$

Einwirkungskombinationen

Einwirkungskombinationen für Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit (ULS)

Berechnung Eigengewicht

Fläche Kreiszwickel A_KZW

Berechnung Eigengewicht für 1 m Streifen

$${g_{k,1}} = {\gamma _{conc}} \cdot {h_{conc}} \cdot b + {\gamma _{tim}} \cdot {h_{DB}} \cdot b + {A_{KZW,1\,m}} \cdot \left( {{\gamma _{conc}} - {\gamma _{tim}}} \right)$$

$$ = \left[ {25,0 \cdot 90,0 \cdot 1.000 + 5,50 \cdot 220 \cdot 1.000 + 1,72 \cdot {{10}^4} \cdot \left( {25,0 - 5,50} \right)} \right] \cdot {10^{ - 6}} = 3,80\;kN/m$$

Grundkombination (t = 0) gemäß ÖNORM EN 1990:2013 [5]

$${q_d}_{,t = 0} = \left( {\sum {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}} + {\gamma _{Q,1}} \cdot {q_{k,1}} + \sum {{\gamma _{Q,i}} \cdot {q_{k,i}}} } \right) \cdot b = \left( {1,35 \cdot \left( {3,80 + 2,00} \right) + 1,50 \cdot 2,8} \right) \cdot 1,00 = 12,0\;kN/m$$

Grundkombination (t = ∞) gemäß ONR CEN/TS 19103:2022 [1]

Aufgrund des unterschiedlichen Kriechverhaltens des Betons, des Holzes und der Verbundmittel werden die Einwirkungen (Lasten) im Grenzzustand der Tragfähigkeit zum Zeitpunkt t = ∞ in „kriechwirksame“ und „nicht kriechwirksame“ unterschieden. Die resultierenden Spannungen in der Holz-Beton-Verbundkonstruktion ergeben sich gemäß der Technischen Spezifikation [1] durch Überlagerung der Schnittgrößen aus dem quasi-ständigen Lastanteil (q_perm,d) und den Spannungen aus Schwinden, berechnet mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = ∞ sowie der Spannungen aus dem kurzzeitig wirkenden Lastanteil (nicht kriechwirksam, q_short,d) berechnet mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = 0.

$${q_{d,t = \infty }} = \left[ {\sum {\left( {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}} \right)} + {\gamma _{Q,i}} \cdot {q_{k,i}}} \right] \cdot b = {q_{perm,d}}+{q_{short,d}}=\left[ {\sum {\left( {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}} \right)} + {\gamma _{Q,i}} \cdot {\psi _{2,i}} \cdot {q_{k,i}}} \right] \cdot b + \left[ {{\gamma _{Q,i}} \cdot \left( {1 - {\psi _{2,i}}} \right) \cdot {q_{k,i}}} \right] \cdot b$$

quasi-ständiger Lastanteil

$${q_{perm,d}} = \left[ {\sum {\left( {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}} \right)} + {\gamma _{Q,i}} \cdot {\psi _{2,i}} \cdot {q_{k,i}}} \right] \cdot b = \left[ {1,35 \cdot \left( {3,80 + 2,00} \right) + 1,50 \cdot 0,30 \cdot 2,80} \right] \cdot 1,00 = 9,09\;kN/m$$

kurzzeitig wirkender Lastanteil

$${q_{short,d}} = \left[ {{\gamma _{Q,i}} \cdot \left( {1 - {\psi _{2,i}}} \right) \cdot {q_{k,i}}} \right] \cdot b = \left[ {1,50 \cdot \left( {1 - 0,30} \right) \cdot 2,80} \right] \cdot 1,00 = 2,94\;kN/m$$

Einwirkungskombinationen für Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (SLS)

charakteristische Lastkombination

$${q_{Ed,rare}} = \left( {\sum {{g_{k,j}}} + \sum {{q_{k,i}}} } \right) \cdot b = \left( {\left( {3,80 + 2,00} \right) + 2,80} \right) \cdot 1,00 = 8,60\;kN/m$$

quasi-ständige Lastkombination

$${q_{Ed,perm}} = \left( {\sum {{g_{k,j}}} + \sum {\left( {{\psi _{2.i}} \cdot {q_{k,i}}} \right)} } \right) \cdot b = \left( {3,80 + 2,00 + 0,3 \cdot 2,80} \right) \cdot 1,00 = 6,64\;kN/m$$

kurzzeitig wirkender Lastanteil

$${q_{Ed,short}} = \left( {1 - {\psi _{2,i}}} \right) \cdot {q_{k,i}} \cdot b = \left( {1 - 0,30} \right) \cdot 2,80 \cdot 1,00 = 1,96\;kN/m$$

Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit (ULS)

Zeitpunkt t = 0

Berechnung mit den Querschnittswerte zum Zeitpunkt t = 0

Bemessungswerte der Elastizitätsmoduli/ Verschiebungsmodul

Elastizitätsmodul Beton

$${E_{conc,d,t = 0}} = {{{E_{cm}}} \over {{\gamma _c}}} = {{33.000} \over {1,50}} = 22.000\;N/m{m^2}$$

Elastizitätsmodul Holz

$${E_{tim,0,mean,d,t = 0}} = {{{E_{tim,0,mean}}} \over {{\gamma _M}}} = {{11.000} \over {1,30}} = 8.460\;N/mm^2$$

Verschiebungsmodul pro Verbindungsmittel

Holz-Beton-Verbundschraube 8x205 mm, l_ef = 100 mm, K_ser = 90 lef (nach Herstellerangabe)

$${K_{u,t = 0}} = {2\over 3}\cdot{K_{ser,t = 0}} = {2\over 3}\cdot{90 \cdot l_{ef}}={2\over 3}\cdot{90 \cdot 100} = 6.000 \;N/mm$$

$${K_{u,d,t = 0}} = {{{K_{u,t=0}}} \over {{\gamma _{M,Verb}}}} = {{6.000} \over {1,25}} = 4.800\;N/mm$$

effektiver Verbindungsmittelabstand

$${s_{ef}} = 0,75 \cdot {s_{\min }} \cdot {{{K_{ref}}} \over {{K_{\max }}}} + 0,25 \cdot {s_{\max }} \cdot {{{K_{ref}}} \over {{K_{\min }}}} = 0,75 \cdot 150 \cdot {{4.800} \over {4.800}} + 0,25 \cdot 300 \cdot {{4.800} \over {4.800}} = 188\;mm$$

Querschnittswerte der Dippelbaumdecke (Querschnitt 2)

Fläche für 1 m -Streifen

$${A_{DB,1\;m}} = b \cdot {h_{DB}} - {A_{KZW,1\;m}} = 1.000 \cdot 220 - 1,72 \cdot {10^4} = 2,03 \cdot {10^5}\;m{m^2}$$

Berechnung Schwerpunkt Dippelbaum

$${A_{DB,KS}} = {h_{DB}}^2 \cdot \left( {\alpha - {{\sin \left( {2\alpha } \right)} \over 2}} \right) \cdot {b \over {{b_{DB}}}} = {220^2} \cdot \left( {41,2 \cdot {\pi \over {180}} - {{\sin \left( {2 \cdot 41,2} \right)} \over 2}} \right) = 1,08 \cdot {10^4}\;m{m^2}$$

$${z_{s;DB,unten}} = {{\sum {\left( {{A_i} \cdot {z_{s,i}}} \right)} } \over {\sum {{A_i}} }} = {{{A_{DB,KS}} \cdot {z_{s;DB,KS}} + {A_{DB,RE}} \cdot {z_{s;DB,RE}}} \over {{A_{DB,KS}} + {A_{DB,RE}}}} = {{1,08 \cdot {{10}^4} \cdot 188 + 4,80 \cdot {{10}^4} \cdot 82,8} \over {1,08 \cdot {{10}^4} + 4,80 \cdot {{10}^4}}} = 102\;mm$$

$${z_{s;DB,oben}} = {h_{DB}} - {z_{s;DB,unten}} = 220 - 102 = 118\;mm$$

Bei üblichen Dippelbaumgeometrien kann das Eigenträgheitsmoment des Kreissegmentes vernachlässigt werden. Somit kann das Flächenträgheitsmoment eines Dippelbaumes vereinfacht wie folgt berechnet werden:

$${I_{DB}} = \sum {{I_i}} + \sum {{A_i} \cdot {e_i}^2} = {I_{DB,RE}} + {A_{DB,RE}} \cdot {\left( {{z_{s;DB,unten}} - {z_{s;DB,RE}}} \right)^2} + \underbrace {{I_{DB,KS}}}_{ < < 0} + {A_{DB,KS}} \cdot {\left( {{z_{s;DB,unten}} - {z_{s;DB,KS}}} \right)^2}$$

$$ = {{290 \cdot {{\left( {220 \cdot \cos \left( {41,2} \right)} \right)}^3}} \over {12}} + 4,80 \cdot {10^4} \cdot {\left( {102 - 82,8} \right)^2} + 0 + 1,08 \cdot {10^4} \cdot {\left( {102 - 188} \right)^2}$$

$$ = 1,10 \cdot {10^8} + 1,77 \cdot {10^7} + 0 + 7,99 \cdot {10^7} = 2,08 \cdot {10^8}$$

1 m Streifen

$${I_{DB,1\;m}} = {I_{DB}} \cdot {b \over {{b_{DB}}}} = 2,08 \cdot {10^8} \cdot {{1.000} \over {290}} = 7,17 \cdot {10^8}\;m{m^4}$$

Berechnung der Dehn- und Biegesteifigkeit der Dippelbaumdecke

$${\left( {E \cdot A} \right)_{tim,d,t = 0}} = {E_{m,0,mean,d,t = 0}} \cdot {A_{DB,1\;m}} = 8.460 \cdot 2,03 \cdot {10^5} = \left. {\underline {\, {1,72 \cdot {{10}^9}\;N} \,}}\! \right| $$

$${\left( {E \cdot I} \right)_{tim,d,t = 0}} = {E_{m,0,mean,d,t = 0}} \cdot {I_{DB,1\;m}} = 8.460 \cdot 7,17 \cdot {10^8} = \left. {\underline {\, {6,07 \cdot {{10}^{12}}\;Nm{m^2}} \,}}\! \right| $$

Querschnittswerte des Betonquerschnitts Zustand II (Querschnitt 1)

Berechnung der gerissenen Betonhöhe h_cr

mit dem Hilfswert γ_cr:

für 1.000/290 = 3,45 Verbindungsmittelreihen pro Meter, je 2 Schraubenreihen.

$${\gamma _{cr}} = \left( {1 + {{{\pi ^2} \cdot {s_{ef}}} \over {{l^2} \cdot {K_i}}} \cdot E{A_{tim}}} \right) \cdot {b_{conc}} \cdot {E_{conc}} = \left( {1 + {{{\pi ^2} \cdot 188} \over {{{6.200}^2} \cdot 3,45 \cdot 2 \cdot 4.800}} \cdot 1,72 \cdot {{10}^9}} \right) \cdot 1.000 \cdot 22.000 = 7,71 \cdot {10^7}\;N/mm$$

$${h_{cr}} = {h_{conc,0}} - {{\sqrt {EA_{tim}^2 + 2 \cdot {\gamma _{cr}} \cdot E{A_{tim}} \cdot \left( {{h_{conc,0}} + {z_{s;DB,oben}}} \right)} - E{A_{tim}}} \over {{\gamma _{cr}}}}$$

$$ = 90,0 - {{\sqrt {{{\left( {1,72 \cdot {{10}^9}} \right)}^2} + 2 \cdot 7,71 \cdot {{10}^7} \cdot 1,72 \cdot {{10}^9} \cdot \left( {90,0 + 118} \right)} - 1,72 \cdot {{10}^9}} \over {7,71 \cdot {{10}^7}}} = 13,4\;mm$$

$${h_{conc,cr}} = {h_{conc,0}} - {h_{cr}} = 90,0 - 13,4 = 76,6\;mm$$

Berechnung der Dehn- und Biegesteifigkeit des Betonquerschnitts

unter Vernachlässigung von:

• der Bewehrung in der Steifigkeitsberechnung
• dem Beton-„Zwickel“ zwischen den Dippelbäumen

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,t = 0}} = {E_{conc,d,t = 0}} \cdot b \cdot {h_{conc,cr}} = 22.000 \cdot 1.000 \cdot 76,6 = \left. {\underline {\, {1,69 \cdot {{10}^9}\;N} \,}}\! \right| $$

$${\left( {E \cdot I} \right)_{conc,d,t = 0}} = {E_{conc,d,t = 0}} \cdot b \cdot {{{h_{conc,cr}}^3} \over {12}} = 22.000 \cdot 1.000 \cdot {{{{76,6}^3}} \over {12}} = \left. {\underline {\, {8,24 \cdot {{10}^{11}}\;Nm{m^2}} \,}}\! \right| $$

Schnittkraft- & Spannungsberechnung (zum Zeitpunkt t = 0)

Verbundfaktoren (mit 1.000/290 = 3,45 Verbindungsmittelreihen pro Meter, je 2 Schraubenreihen)

$${\gamma _1} = {1 \over {1 + {\pi ^2} \cdot {{E{A_{conc,d,t = 0}} \cdot {s_{ef}}} \over {{K_{u,d,t = 0}} \cdot {l^2}}}}} = {1 \over {1 + {\pi ^2} \cdot {{1,69 \cdot {{10}^9} \cdot 188} \over {3,45 \cdot 2 \cdot 4.800 \cdot {{6.200}^2}}}}} = 0,289$$

$${\gamma _2} = 1,00$$

Schwerpunktsabstände

$${a_2} = {{{\gamma _1} \cdot E{A_{conc,d,t = 0}} \cdot \left( {{z_{s;DB,oben}} + {{\left( {{h_{conc,0}} + {h_{cr}}} \right)} \over 2}} \right)} \over {{\gamma _1} \cdot E{A_{conc,d,t = 0}} + E{A_{tim,d,t = 0}}}} = {{0,289 \cdot 1,69 \cdot {{10}^9} \cdot \left( {118 + {{\left( {90,0 + 13,4} \right)} \over 2}} \right)} \over {0,289 \cdot 1,69 \cdot {{10}^9} + 1,72 \cdot {{10}^9}}} = 37,5\;mm$$

$${a_1} = {z_{s;DB,oben}} + {{\left( {{h_{conc,0}} + {h_{cr}}} \right)} \over 2} - {a_2} = 118 + {{\left( {90,0 + 13,4} \right)} \over 2} - 37,5 = 132\;mm$$

Ermittlung der effektiven Biegesteifigkeit

$${\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,d,t = 0}} = \sum {\left( {E{I_i} + {\gamma _i} \cdot E{A_i} \cdot a_i^2} \right)} = E{I_{conc}} + {\gamma _1} \cdot E{A_{conc}} \cdot a_1^2 + E{I_{tim}} + {\gamma _2} \cdot E{A_{tim}} \cdot a_2^2$$

$$ = 8,24 \cdot {10^{11}} + 0,289 \cdot 1,69 \cdot {10^9} \cdot {132^2} + 6,07 \cdot {10^{12}} + 1,00 \cdot 1,72 \cdot {10^9} \cdot {37,5^2} = 1,78 \cdot {10^{13}}\;Nm{m^2}$$

Berechnung der Spannungen für die Grundkombination q_d,t=0

Moment

$${M_{d;t = 0}} = {{{q_{d;t = 0}} \cdot {l^2}} \over 8} = {{12,0 \cdot {{6,20}^2}} \over 8} = 57,7\;kNm$$

Spannungen Beton (Querschnitt 1)

$${\sigma _{N,conc;t = 0}} = - {{{M_{d;t = 0}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,d;t = 0}}}} \cdot {\gamma _1} \cdot {E_{conc,d;t = 0}} \cdot {a_1} = - {{57,7 \cdot {{10}^6}} \over {1,78 \cdot {{10}^{13}}}} \cdot 0,289 \cdot 22.000 \cdot 132 = - 2,72\;N/m{m^2}$$

$${\sigma _{M,conc,t = 0}} = \pm {{{M_{d;t = 0}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,d;t = 0}}}} \cdot {E_{conc,d;t = 0}} \cdot {{{h_{conc,cr}}} \over 2} = \pm {{57,7 \cdot {{10}^6}} \over {1,78 \cdot {{10}^{13}}}} \cdot 22.000 \cdot {{76,6} \over 2} = \pm \,2,73\;N/m{m^2}$$

Spannungen Holz (Querschnitt 2)

$${\sigma _{N,tim;t = 0}} = {{{M_{d;t = 0}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,d;t = 0}}}} \cdot {\gamma _2} \cdot {E_{tim,d;t = 0}} \cdot {a_2} = - {{57,7 \cdot {{10}^6}} \over {1,78 \cdot {{10}^{13}}}} \cdot 1,00 \cdot 8.460 \cdot 37,5 = 1,03\;N/m{m^2}$$

$${\sigma _{M,tim,oben;t = 0}} = {{{M_{d;t = 0}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,d;t = 0}}}} \cdot {E_{tim,d;t = 0}} \cdot {z_{s;DB,oben}} = {{57,7 \cdot {{10}^6}} \over {1,78 \cdot {{10}^{13}}}} \cdot 8.460 \cdot \left( { - 118} \right) = - \,3,24\;N/m{m^2}$$

$${\sigma _{M,tim,unten;t = 0}} = {{{M_{d;t = 0}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,d;t = 0}}}} \cdot {E_{tim,d;t = 0}} \cdot {z_{s;DB,unten}} = {{57,7 \cdot {{10}^6}} \over {1,78 \cdot {{10}^{13}}}} \cdot 8.460 \cdot 102 = 2,80\;N/m{m^2}$$

Übersicht der Spannungen für die Grundkombination, dem quasi-ständigen und den kurzzeitig wirkenden Lastanteil

Zeitpunkt t = ∞

Ermittlung des Beiwertes zur Berücksichtigung des Systemkriechverhaltens

(siehe ONR CEN/TS 19103:2022[1])

Koeffizient zur Berücksichtigung der Auswirkungen der Verbundwirkungen auf die Kriechzahl des Betonquerschnitts aus Tab. 7.1 ONR CEN/TS 19103:2022 [1]

für φ₀ = 2,50 und k_def = 0,60

$${\psi _{conc}} = 2,0 - 0,5 \cdot {\gamma _1}^{1,9} = 2,0 - 0,5 \cdot {0,289^{1,9}} = 1,95$$

Berechnung mit den Querschnittswerte zum Zeitpunkt t = ∞

Querschnittswerte des Betonquerschnitts Zustand II (Querschnitt 1)

mit der Risshöhe des Zeitpunktes t = 0: h_cr = 13,4 mm | h_conc,cr = 76,6 mm

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,t = \infty }} = {E_{conc,d,t = \infty }} \cdot b \cdot {h_{conc,cr}} = 3.740 \cdot 1.000 \cdot 76,6 = 2,86 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot I} \right)_{conc,d,t = \infty }} = {E_{conc,d,t = \infty }} \cdot b \cdot {{{h_{conc,cr}}^3} \over {12}} = 3.740 \cdot 1.000 \cdot {{{{76,6}^3}} \over {12}} = 1,40 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Querschnittswerte der Dippelbaumdecke (Querschnitt 2)

$${\left( {E \cdot A} \right)_{tim,d,t = \infty }} = {E_{m,0,mean,d,t = \infty }} \cdot {A_{DB,1\;m}} = 5.290 \cdot 2,03 \cdot {10^5} = 1,07 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot I} \right)_{tim,d,t = \infty }} = {E_{m,0,mean,d,t = \infty }} \cdot {I_{DB,1\;m}} = 5.290 \cdot 7,17 \cdot {10^8} = 3,79 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

Schnittkraft- & Spannungsberechnung (zum Zeitpunkt t = ∞)

Verbundfaktoren

$${\gamma _1} = {1 \over {1 + {\pi ^2} \cdot {{E{A_{conc,d,t = \infty }} \cdot {s_{ef}}} \over {{K_{u,d,t = \infty }} \cdot {l^2}}}}} = {1 \over {1 + {\pi ^2} \cdot {{2,86 \cdot {{10}^8} \cdot 188} \over {3,45 \cdot 2 \cdot 2.180 \cdot {{6.200}^2}}}}} = 0,521$$

$${\gamma _2} = 1,00$$

Schwerpunktsabstände

$${a_2} = {{{\gamma _1} \cdot E{A_{conc,d,t = \infty }} \cdot \left( {{z_{s;DB,oben}} + {{\left( {{h_{conc}} + {h_{cr}}} \right)} \over 2}} \right)} \over {{\gamma _1} \cdot E{A_{conc,d,t = \infty }} + E{A_{tim,d,t = \infty }}}} = {{0,521 \cdot 2,86 \cdot {{10}^8} \cdot \left( {118 + {{\left( {90,0 + 13,4} \right)} \over 2}} \right)} \over {0,521 \cdot 2,86 \cdot {{10}^8} + 1,07 \cdot {{10}^9}}} = 20,7\;mm$$

$${a_1} = {z_{s;DB,oben}} + {{\left( {{h_{conc,0}} + {h_{cr}}} \right)} \over 2} - {a_2} = 118 + {{\left( {90,0 + 13,4} \right)} \over 2} - 20,7 = 149\;mm$$

effektive Biegesteifigkeit

$${\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,d;t = \infty }} = \sum {\left( {E{I_i} + {\gamma _i} \cdot E{A_i} \cdot a_i^2} \right)} = E{I_{conc}} + {\gamma _1} \cdot E{A_{conc}} \cdot a_1^2 + E{I_{tim}} + {\gamma _2} \cdot E{A_{tim}} \cdot a_2^2$$

$$ = 1,40 \cdot {10^{11}} + 0,521 \cdot 2,86 \cdot {10^8} \cdot {149^2} + 3,79 \cdot {10^{12}} + 1,00 \cdot 1,07 \cdot {10^9} \cdot {20,7^2} = 7,70 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

Berücksichtigung der spannungslosen Dehnungen

resultierende relative Schwinddehnung

mit ε_s,tim,ef>7 = 0 ‰ | ε_cs = 0,476 ‰ (Berechnung)

$$\Delta {\varepsilon _{ef;t = \infty }} = {\varepsilon _{s,tim,ef;t = \infty }} - {\varepsilon _{s,conc,ef;t = \infty }} = {\varepsilon _{s,tim,ef}} - 0,9 \cdot {\varepsilon _{cs}} = 0 - 0,9 \cdot 0,476\;‰ = 0,428\;‰$$

$$z = {a_1} + {a_2} = 149 + 20,7 = 170\;mm$$

Vorfaktor

$${C_{p,sls}} = {\pi ^2} \cdot {{E{A_{conc,d;t = \infty }} \cdot E{A_{tim,d;t = \infty }} \cdot z \cdot {\gamma _1}} \over {\left( {E{A_{conc,d;t = \infty }} + E{A_{tim,d;t = \infty }}} \right) \cdot {l^2}}} = {\pi ^2} \cdot {{2,86 \cdot {{10}^8} \cdot 1,07 \cdot {{10}^9} \cdot 170 \cdot 0,521} \over {\left( {2,86 \cdot {{10}^8} + 1,07 \cdot {{10}^9}} \right) \cdot {{6.200}^2}}} = 5.130\;N/mm$$

fiktive vertikale (charakteristische) Ersatzlast

$${p_{\Delta {\varepsilon _{ef;t = \infty }}}} = {C_{p,sls}} \cdot \Delta {\varepsilon _{ef;t = \infty }} = 5.130 \cdot 0,428 \cdot {10^{ - 3}} = 2,20\;N/mm = 2,20\;kN/m$$

Bemessungswert der Ersatzlast

$${p_{\Delta {\varepsilon _{ef,d;t = \infty }}}} = {\gamma _{SH}} \cdot {p_{\Delta {\varepsilon _{ef;t = \infty }}}} = 1,35 \cdot 2,20 = 2,97\;kN/m$$

Berechnung der effektiven Biegesteifigkeit unter Berücksichtigung der spannungslosen Dehnungen

$${C_{j,sls}} = {{{p_{perm,}}_d + {p_{\Delta {\varepsilon _{ef,d;t = \infty }}}}} \over {{p_{perm,}}_d + {{E{A_{conc,d;t = \infty }} + E{A_{tim,d;t = \infty }}} \over {{\gamma _1} \cdot E{A_{conc,d;t = \infty }} + E{A_{tim,d;t = \infty }}}} \cdot {p_{\Delta {\varepsilon _{ef,d;t = \infty }}}}}} = {{9,09 + 2,97} \over {9,09 + {{2,86 \cdot {{10}^8} + 1,07 \cdot {{10}^9}} \over {0,521 \cdot 2,86 \cdot {{10}^8} + 1,07 \cdot {{10}^9}}} \cdot 2,97}} = 0,973$$

$${\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,d,ef;t = \infty }} = {C_{J,sls}} \cdot {\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,d,t = \infty }} = 0,973 \cdot 7,70 \cdot {10^{12}} = \left| \!{\underline {\, {7,49 \cdot {{10}^{12}}\;Nm{m^2}} \,}} \right. $$

Berechnung der ständigen (kriechwirksamen) Spannungen

$${M_{perm,d;t = 0}} = {{{q_{perm,d}} \cdot {l^2}} \over 8} = {{9,09 \cdot {{6,20}^2}} \over 8} = 43,7\;kNm$$

$${M_{perm,d;t = \infty }} = {{\left( {{q_{perm,d}} + 0,8 \cdot {p_{\Delta {\varepsilon _{ef,d;t = \infty }}}}} \right) \cdot {l^2}} \over 8} = {{\left( {9,09 + 0,8 \cdot 2,97} \right) \cdot {{6,20}^2}} \over 8} = 55,1\;kNm$$

Berechnung der Schnittgrößen der einzelnen Teilquerschnitte nach ONR CEN/TS 19103:2022 [1] - Anhang B

Im Folgenden werden die Spannungen aus dem quasi-ständigen Lastanteil berechnet:

Biegemoment im Bauteil i infolge äußerer Lasten und einem Teil (80 %) der fiktiven Last als Äquivalent zu den unelastischen Dehnungen

$${M_{conc,perm,d;t = \infty }} = {{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{conc,d;t = \infty }}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,d,ef;t = \infty }}}} \cdot {M_{perm,d;t = \infty }} = {{1,40 \cdot {{10}^{11}}} \over {7,49 \cdot {{10}^{12}}}} \cdot 55,1 = 1,03\;kNm$$

$${M_{tim,perm,d;t = \infty }} = {{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{tim,d;t = \infty }}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,d,ef;t = \infty }}}} \cdot {M_{perm,d;t = \infty }} = {{3,79 \cdot {{10}^{12}}} \over {7,49 \cdot {{10}^{12}}}} \cdot 55,1 = 27,9\;kNm$$

Normalkraft in den Bauteilen infolge äußerer Lasten

$$z = {a_1} + {a_2} = 149 + 20,7 = 170\;mm = 0,170\;m$$

$${N_{tim,perm,d;t = \infty }} = - \;{N_{conc,perm,d;t = \infty }} = {{{M_{perm,d;t = 0}} - {M_{conc,perm,d;t = \infty }} - {M_{tim,perm,d;t = \infty }}} \over z} = {{43,7 - 1,03 - 27,9} \over {0,170}} = 86,9\;kN$$

Spannungen Beton (Querschnitt 1)

$${\sigma _{N,conc,perm;t = \infty }} = {{{N_{conc,perm,d;t = \infty }}} \over {b \cdot {h_{conc,cr}}}} = {{ - \,86,9 \cdot {{10}^3}} \over {1.000 \cdot 76,6}} = - 1,13\;N/m{m^2}$$

$${\sigma _{M,conc,perm;t = \infty }} = \mp {{6 \cdot {M_{conc,perm.d;t = \infty }}} \over {b \cdot h_{conc,cr}^2}} = \mp {{6 \cdot 1,03 \cdot {{10}^6}} \over {1.000 \cdot {{76,6}^2}}} = \mp 1,05\;N/m{m^2}$$

Spannungen Holz (Querschnitt 2)

$${\sigma _{N,tim,perm;t = \infty }} = {{{N_{tim,perm,d;t = \infty }}} \over {{A_{DB,1\;m}}}} = {{86,9 \cdot {{10}^3}} \over {2,03 \cdot {{10}^5}}} = 0,428\;N/m{m^2}$$

$${\sigma _{M,tim,perm,oben;t = \infty }} = {{{M_{tim,perm,d;t = \infty }}} \over {{I_{DB,\;1\;m}}}} \cdot {z_{s;DB,oben}} = {{27,9 \cdot {{10}^6}} \over {7,17 \cdot {{10}^8}}} \cdot \left( { - 118} \right) = - \,4,59\;N/m{m^2}$$

$${\sigma _{M,tim,perm,unten;t = \infty }} = {{{M_{tim,perm,d;t = \infty }}} \over {{I_{DB,\;1\;m}}}} \cdot {z_{s;DB,unten}} = {{27,9 \cdot {{10}^6}} \over {7,17 \cdot {{10}^8}}} \cdot 102 = 3,97\;N/m{m^2}$$

Überlagerung der Spannungen für die Nachweise im ULS - t = ∞

Zeitpunkt t = 3 - 7 Jahre

Kontrolle Kräfte und Spannungen nach 3 bis 7 Jahren

Überprüfung, ob die Kräfte und Spannungen nach 3 bis 7 Jahren nachzuweisen sind:

zum Zeitpunkt t = 0

- für die quasi-ständige Einwirkungskombination

$${\eta _{tim,perm,d,t = 0}} = {{{\sigma _{tim,t,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,tim,t,0,d}}}} + {{{\sigma _{tim,m,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,tim,m,d}}}} = {{0,780} \over {8,92}} + {{\left| { - 2,45} \right|} \over {14,8}} = 0,0874 + 0,166 = 0,253$$

- für den kurzzeitig wirkenden Anteil der Einwirkungskombination

$${\eta _{tim,short,d,t = 0}} = {{{\sigma _{tim,t,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,tim,t,0,d}}}} + {{{\sigma _{tim,m,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,tim,m,d}}}} = {{0,252} \over {8,92}} + {{\left| { -0,794} \right|} \over {14,8}} = 0,0283 + 0,0536 = 0,0819$$

zum Zeitpunkt t = ∞

- für die quasi-ständige Einwirkungskombination

$${\eta _{tim,perm,d,t = \infty }} = {{{\sigma _{tim,t,d,\,t = \infty }}} \over {{f_{\,tim,t,0,d}}}} + {{{\sigma _{tim,m,d,t = \infty }}} \over {{f_{\,tim,m,d}}}} = {{0,428} \over {8,92}} + {{\left| { -4,59} \right|} \over {14,8}} = 0,0480 + 0,310 = 0,358$$

→ ist der Spannungsnachweis für das BSP bei Erhöhung der Spannungen für die quasi-ständige Einwirkungskombination um 25% weiterhin erfüllt, erübrigt sich der Nachweis zum Zeitpunkt t = 3 und 7 Jahre

t = 0

$$1,25 \cdot {\eta _{tim,perm,d;t = 0}} + {\eta _{tim,short,d;t = 0}} = 1,25 \cdot 0,253 + 0,0819 = 0,40 < 1$$

t = ∞

$$1,25 \cdot {\eta _{tim,perm,d;t = \infty }} + {\eta _{tim,short,d;t = 0}} = 1,25 \cdot 0,358 + 0,0819 = 0,53 < 1$$

→ d. h. es sind keine zusätzlichen Zeitpunkte zu betrachten.

Zusammenfassung der Spannungen

Zusammenfassung der Spannungen zu den Zeitpunkten t = 0 und t = ∞

Nachweisführungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit (ULS)

Nachweise Vollholz / Dippelbaum

Normalspannungsnachweis

maßgebender Nachweis: Zeitpunkt t = ∞

Nachweis oben:

$${{{\sigma _{tim,t,d}}} \over {{f_{t,0,d}}}} + {{{\sigma _{tim,m,oben,d}}} \over {{f_{m,d}}}} = {{0,680} \over {8,92}} + {{\left| { - 5,38} \right|} \over {14,8}} = 0,0762 + 0,363 = 0,44 < 1$$

Nachweis unten:

$${{{\sigma _{tim,t,d}}} \over {{f_{t,0,d}}}} + {{{\sigma _{tim,m,unten,d}}} \over {{f_{m,d}}}} = {{0,680} \over {8,92}} + {{4,66} \over {14,8}} = 0,0762 + 0,315 = 0,39 < 1$$

Schubspannungsnachweis

Auf der konservativen Seite liegend wird die Querkrafttragfähigkeit der Holz-Beton-Verbund Deckenkonstruktion so nachgewiesen, dass die gesamte Querkraft am Auflager vom Holz-Querschnitt abgetragen wird.

Bemessungswert der Einwirkung

$${V_{d}} = {q_d} \cdot {l \over 2} = 12,0 \cdot {{6,20} \over 2} = 37,2\;kN$$

Nachweisführung

$${\tau _d} = {{{V_d} \cdot {S_{y,\max ,1\;m}}} \over {{I_{DB,\;1\;m}} \cdot b}}$$

$${S_{y,\max ,\;1\;m}} = z \cdot A = {{102} \over 2} \cdot \left( {102 \cdot 1000} \right) = 5,20 \cdot {10^6}\;m{m^3}$$

Schubspannung

$${\tau _d} = {{{V_d} \cdot {S_{y,\max ,1\;m}}} \over {{I_{DB,\;1\;m}} \cdot b}} = {{37,2 \cdot {{10}^3} \cdot 5,20 \cdot {{10}^6}} \over {7,17 \cdot {{10}^8} \cdot 1.000}} = 0,270\;N/m{m^2}$$

Nachweis

$${{{\tau _d}} \over {{f_{\;v,d}}}} = {{0,270} \over {1,41}} = 0,19 < 1$$

Nachweis Beton

Nachweis der Betondruckspannung in Feldmitte

maßgebender Nachweis: Zeitpunkt t = 0

$${{{\sigma _{conc,oben,d,t = 0}}} \over {{f_{cd}}}} = {{\left| { - 5,45} \right|} \over {20,0}} = 0,27 < 1$$

Nachweis des Betons auf Längsschub (einschließlich Membraneinwirkungen)

$${N_{conc}} = - {{{M_{d;t = 0}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,d;t = 0}}}} \cdot {\gamma _1} \cdot {a_1} \cdot {\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,t = 0}}$$

bzw.

$${N_{conc;t = 0}} = {\sigma _{conc,N,d,t = 0}} \cdot {A_{conc}}$$

Berechnung "Schubfestigkeit” des Betons mit gewählten Druckstrebenwinkel θ = 30°

Grenzen Druckstrebenwinkel (nach 6.2.4 (4))

$$26,5^\circ < {\theta _f} = 30,0^\circ \le 45,0^\circ $$

$$\nu = 0,6 \cdot \left( {1 - {{{f_{ck}}} \over {250}}} \right)$$

$${f_{vcd}} = {{\nu \cdot {f_{cd}}} \over {\cot \left( \theta \right) + \tan \left( \theta \right)}}$$

Bezugslänge für den Längsschub nach EN 1992-1-1:2015 [4] Abschnitt 6.2.4 (3) bzw. ONR CEN/TS 19103:2022 [1]:
„Der Maximalwert, der für x angenommen werden darf, ist der halbe Abstand zwischen Momentennullpunkt und Momentenmaximum. Wirken Einzellasten, hat in der Regel die Länge x den Abstand zwischen den Einzellasten nicht zu überschreiten.“

$$\Delta x = {l \over 4}$$

Bemessungswert des Längsschubs für den Bereich von 0 ≤ x <l/4

$$\Delta {F_d} = 0,75 \cdot {{{N_{conc;t = 0}}} \over 2}$$

Nachweis der Schubweiterleitung in der Betonplatte

$${\tau _{Ed}} = {{\Delta {F_d}} \over {{h_{conc,red}} \cdot \Delta x}}$$

$${{{\tau _{Ed}}} \over {{f_{vcd}}}} < 1$$

Nachweis der Umrissfläche des Verbindungsmittels

Anschlussbewehrung (Spaltzugbewehrung)

$${f_{yd}} = {{{f_{yk}}} \over {{\gamma _s}}}$$

$${a_s} = {{\Delta {F_d}} \over {\Delta x \cdot {{{f_{yd}}} \over {\tan \left( \theta \right)}}}}$$

Nachweis Verbindung

maßgebender Nachweis: Zeitpunkt t = 0

Berechnung der Beanspruchung der Verbindungsmittel

$${N_{conc}} = - {{{M_{d;t = 0}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,d;t = 0}}}} \cdot {\gamma _1} \cdot {a_1} \cdot {\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,t = 0}} = - {{57,7 \cdot {{10}^6}} \over {1,78 \cdot {{10}^{13}}}} \cdot 0,289 \cdot 132 \cdot 1,69 \cdot {10^9} = 209.000\;N = 209\;kN\;$$

Beanspruchung des maßgebenden Verbindungsmittels

$${F_1} = {T_{equiv}} \cdot {s_{ef}} = 150 \cdot 0,188 = 28,2\;kN$$

Ermittlung der Tragfähigkeit einer Schraube in Fugenrichtung

F_ax,Rk = 22,0 kN lt. Herstellerangabe

$${F_{ax,\alpha ,Rd}} = {{{k_{\bmod }}} \over {{\gamma _M}}} \cdot {F_{ax,Rk}} \cdot \cos \left( \alpha \right) = {{0,80} \over {1,30}} \cdot 22,0 \cdot \cos \left( {45} \right) = 9,57\;kN$$

effektive Verbindungsmittelanzahl (3,45 Dippelbäume pro Meter, 2 Schrauben pro Dippelbaum)

$${n_{ef}} = n = 3,45 \cdot 2 = 6,90\;Stk$$

Nachweis

$${{{F_1}} \over {{F_{ax,\alpha ,Rd}} \cdot {n_{ef}}}} = {{28,2} \over {9,57 \cdot 6,90}} = 0,43 < 1$$

Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (SLS)

Nachweis der Begrenzung der Anfangsdurchbiegung

Querschnittswerte – SLS zum Zeitpunkt t = 0

Querschnittswerte des Betonquerschnitts Zustand II (Querschnitt 1)

mit Risshöhe aus t = 0: h_cr = 13,4 mm | h_conc,cr = 76,6 mm

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,{\mathop{\rm in}\nolimits} st}} = {E_{cm}} \cdot b \cdot {h_{conc,cr}} = 33.000 \cdot 1.000 \cdot 76,6 = 2,53 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot I} \right)_{conc,{\mathop{\rm in}\nolimits} st}} = {E_{cm}} \cdot b \cdot {{h_{conc,cr}^3} \over {12}} = 33.000 \cdot 1.000 \cdot {{{{76,6}^3}} \over {12}} = 1,24 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

Querschnittswerte der Dippelbaumdecke (Querschnitt 2)

$${\left( {E \cdot A} \right)_{tim,{\mathop{\rm in}\nolimits} st}} = {E_{m,0,mean}} \cdot {A_{DB,\;1\;m}} = 11.000 \cdot 2,03 \cdot {10^5} = 2,23 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot I} \right)_{tim,{\mathop{\rm in}\nolimits} st}} = {E_{m,0,mean}} \cdot {I_{DB,\;1\;m}} = 11.000 \cdot 7,17 \cdot {10^8} = 7,89 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

Berechnung der effektiven Biegesteifigkeit

$${K_{ser,inst}} = 90 \cdot {l_{ef}} = 90 \cdot 100 = 9.000\;N/mm$$

$${\gamma _1} = {1 \over {1 + {\pi ^2} \cdot {{E{A_{conc,inst}} \cdot {s_{ef}}} \over {{K_{ser,inst}} \cdot {l^2}}}}} = {1 \over {1 + {\pi ^2} \cdot {{2,53 \cdot {{10}^9} \cdot 188} \over {3,45 \cdot 2 \cdot 9.000 \cdot {{6.200}^2}}}}} = 0,337$$

$${\gamma _2} = 1,00$$

$${a_2} = {{{\gamma _1} \cdot E{A_{conc,{\mathop{\rm in}\nolimits} st}} \cdot \left( {{z_{s,oben}} + {{\left( {{h_{conc,0}} + {h_{cr}}} \right)} \over 2}} \right)} \over {{\gamma _1} \cdot E{A_{conc,{\mathop{\rm in}\nolimits} st}} + E{A_{tim,{\mathop{\rm in}\nolimits} st}}}} = {{0,337 \cdot 2,53 \cdot {{10}^9} \cdot \left( {118 + {{\left( {90,0 + 13,4} \right)} \over 2}} \right)} \over {0,337 \cdot 2,53 \cdot {{10}^9} + 2,23 \cdot {{10}^9}}} = 46,9\;mm$$

$${a_1} = {z_{s,oben}} + {{\left( {{h_{conc,0}} + {h_{cr}}} \right)} \over 2} - {a_2} = 118 + {{\left( {90,0 + 13,4} \right)} \over 2} - 46,9 = 123\;mm$$

$${\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,inst}} = \sum {\left( {E{I_i} + {\gamma _i} \cdot E{A_i} \cdot a_i^2} \right)} = 1,24 \cdot {10^{12}} + 0,337 \cdot 2,53 \cdot {10^9} \cdot {123^2} + 7,89 \cdot {10^{12}} + 1,00 \cdot 2,23 \cdot {10^9} \cdot {46,9^2} = 2,69 \cdot {10^{13}}\;Nm{m^2}$$

Berechnung der Anfangsdurchbiegung für die seltene (charakteristische) Einwirkungskombination

Variante A: Berücksichtigung des „losen“ Bereiches am Auflager

statisches System:

Anfangsdurchbiegung

$${w_{inst}} = {q \over {384}} \cdot \left[ {{{16 \cdot {l_{lose}}^3 \cdot \left( {4l - 3{l_{lose}}} \right)} \over {{\rm{E}}{{\rm{I}}_{tim,inst}}}} + {{5 \cdot {l^4} - 64 \cdot l \cdot {l_{lose}}^3 + 48 \cdot {l_{lose}}^4} \over {{\rm{E}}{{\rm{I}}_{TCC,\;inst}}}}} \right]$$

$$ = {{8,60} \over {384}} \cdot \left[ {{{16 \cdot {{320}^3} \cdot \left( {4 \cdot 6.200 - 3 \cdot 320} \right)} \over {7,89 \cdot {{10}^{12}}}} + {{5 \cdot {{6.200}^4} - 64 \cdot 6.200 \cdot {{320}^3} + 48 \cdot {{320}^4}} \over {2,69 \cdot {{10}^{13}}}}} \right] = \underbrace {0,0355}_{ < 1\;\% } + \underbrace {6,14}_{99\;\% } = 6,18\;mm$$

Variante B: Vernachlässigung des „losen“ Bereiches am Auflager

$${w_{inst}} = {5 \over {384}} \cdot {{{q_{Ed,rare}} \cdot {l^4}} \over {E{I_{TCC,inst}}}} = {5 \over {384}} \cdot {{8,60 \cdot {{6.200}^4}} \over {2,69 \cdot {{10}^{13}}}} = 6,15\;mm$$

→ Fazit:
Der Vergleich der vertikalen Durchbiegungen gemäß Variante A und B zeigt, dass die zusätzliche Durchbiegung aufgrund des losen Bereichs am Auflager vernachlässigt werden kann. Für die nachfolgenden Nachweise wird daher Variante B herangezogen.

Nachweis der vertikalen Anfangsdurchbiegung

Grenzwert der Anfangsdurchbiegung

$${w_{inst,grenz}} = {l \over {300}} = {{6.200} \over {300}} = 20,7\;mm$$

Nachweis

$${{{w_{inst}}} \over {{w_{inst,grenz}}}} = {{6,15} \over {20,7}} = 0,30 < 1$$

Nachweis der Begrenzung der Enddurchbiegung

Ermittlung des Beiwertes zur Berücksichtigung des Systemkriechbeiwertes

Koeffizient zur Berücksichtigung der Auswirkungen der Verbundwirkungen auf die Kriechzahl des Betonquerschnitts aus (siehe ONR CEN/TS 19103:2022, Absch. 7.1.2 [1])

für φ₀ = 2,50 und k_def = 0,60

$${\psi _{conc}} = 2,0 - 0,5 \cdot {\gamma _1}^{1,9} = 2,0 - 0,5 \cdot {0,337^{1,9}} = 1,94$$

Querschnittswerte – SLS zum Zeitpunkt t = ∞

Querschnittswerte des Betonquerschnitts Zustand II (Querschnitt 1) mit Risshöhe aus t = 0: h_cr = 13,4 mm | h_conc,cr = 76,6 mm

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,fin}} = {E_{conc,fin}} \cdot b \cdot {h_{conc,cr}} = 5.640 \cdot 1.000 \cdot 76,6 = 4,32 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot I} \right)_{conc,fin}} = {E_{conc,fin}} \cdot b \cdot {{h_{conc,cr}^3} \over {12}} = 5.640 \cdot 1.000 \cdot {{{{76,6}^3}} \over {12}} = 2,11 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Querschnittswerte der Dippelbaumdecke (Querschnitt 2)

$${\left( {E \cdot A} \right)_{tim,fin}} = {E_{m,0,mean,fin}} \cdot {A_{DB,\;1\;m}} = 6.880 \cdot 2,03 \cdot {10^5} = 1,40 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot I} \right)_{tim,fin}} = {E_{m,0,mean,fin}} \cdot {I_{DB,\;1\;m}} = 6.880 \cdot 7,17 \cdot {10^8} = 4,93 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

Berechnung der effektiven Biegesteifigkeit

$${\gamma _1} = {1 \over {1 + {\pi ^2} \cdot {{E{A_{conc,fin}} \cdot {s_{ef}}} \over {{K_{ser,fin}} \cdot {l^2}}}}} = {1 \over {1 + {\pi ^2} \cdot {{4,32 \cdot {{10}^8} \cdot 188} \over {3,45 \cdot 2 \cdot 4.090 \cdot {{6.200}^2}}}}} = 0,575$$

$${\gamma _2} = 1,00$$

$${a_2} = {{{\gamma _1} \cdot E{A_{conc,fin}} \cdot \left( {{z_{s,oben}} + {{\left( {{h_{conc,0}} + {h_{cr}}} \right)} \over 2}} \right)} \over {{\gamma _1} \cdot E{A_{conc,fin}} + E{A_{tim,fin}}}} = {{0,575 \cdot 4,32 \cdot {{10}^8} \cdot \left( {118 + {{\left( {90,0 + 13,4} \right)} \over 2}} \right)} \over {0,575 \cdot 4,32 \cdot {{10}^8} + 1,40 \cdot {{10}^9}}} = 25,6\;mm$$

$${a_1} = {z_{s,oben}} + {{\left( {{h_{conc,0}} + {h_{cr}}} \right)} \over 2} - {a_2} = 118 + {{\left( {90,0 + 13,4} \right)} \over 2} - 25,6 = 144\;mm$$

$${\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,fin}} = \sum {\left( {E{I_i} + {\gamma _i} \cdot E{A_i} \cdot a_i^2} \right)} $$

$$ = 2,11 \cdot {10^{11}} + 0,575 \cdot 4,32 \cdot {10^8} \cdot {144^2} + 4,93 \cdot {10^{12}} + 1,40 \cdot {10^9} \cdot {25,6^2} = 1,12 \cdot {10^{13}}\;Nm{m^2}$$

Effektive Biegesteifigkeit unter Berücksichtigung der Schwindverformung

$${C_{p,sls}} = {\pi ^2} \cdot {{E{A_{conc,fin}} \cdot E{A_{tim,fin}} \cdot z \cdot {\gamma _1}} \over {\left( {E{A_{conc,fin}} + E{A_{tim,fin}}} \right) \cdot {l^2}}} = {\pi ^2} \cdot {{4,32 \cdot {{10}^8} \cdot 1,40 \cdot {{10}^9} \cdot 170 \cdot 0,575} \over {\left( {4,32 \cdot {{10}^8} + 1,40 \cdot {{10}^9}} \right) \cdot {{6.200}^2}}} = 8.290\;N/mm$$

resultierende relative Schwinddehnung

$$\Delta {\varepsilon _{ef;t = \infty }} = {\varepsilon _{s,tim,ef;t = \infty }} - {\varepsilon _{s,conc,ef;t = \infty }} = {\varepsilon _{s,tim,ef}} - 0,9 \cdot {\varepsilon _{cs}} = 0 - 0,9 \cdot 0,476\;‰ = 0,428\;‰$$

Berechnung der Ersatzlast

$${p_{\Delta {\varepsilon _{ef;t = \infty }}}} = {C_{p,sls}} \cdot \Delta {\varepsilon _{ef;t = \infty }} = 8.290 \cdot 0,428 \cdot {10^{ - 3}} = 3,55\;N/mm = 3,55\;kN/m$$

$${p_{\Delta {\varepsilon _{ef,fin}}}} = {\gamma _{SH}} \cdot {p_{\Delta {\varepsilon _{ef;t = \infty }}}} = 1,00 \cdot 3,55 = 3,55\;kN/m$$

Modifikationsfaktor der Biegesteifigkeit

$${C_{j,sls}} = {{{p_{\Delta {\varepsilon _{ef,fin}}}} + {p_{Ed,perm}}} \over {{{E{A_{conc,fin}} + E{A_{tim,fin}}} \over {{\gamma _1} \cdot E{A_{conc,fin}} + E{A_{tim,fin}}}} \cdot {p_{\Delta {\varepsilon _{ef,fin}}}} + {p_{Ed,perm}}}} = {{3,55 + 6,64} \over {{{4,32 \cdot {{10}^8} + 1,40 \cdot {{10}^9}} \over {0,575 \cdot 4,32 \cdot {{10}^8} + 1,40 \cdot {{10}^9}}} \cdot 3,55 + 6,64}} = 0,963$$

effektive Biegesteifigkeit

$${\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,fin,ef}} = {C_{J,sls}} \cdot {\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,fin}} = 0,963 \cdot 1,12 \cdot {10^{13}} = 1,08 \cdot {10^{13}}\;Nm{m^2}$$

Berechnung und Nachweis der Enddurchbiegung

Enddurchbiegung

$${w_{fin}} = {5 \over {384}} \cdot {{\left( {{q_{Ed,perm}} + {p_{\Delta {\varepsilon _{ef,fin}}}}} \right) \cdot {l^4}} \over {E{I_{TCC,fin,ef}}}} = {5 \over {384}} \cdot {{\left( {6,64 + 3,55} \right) \cdot {{6.200}^4}} \over {1,08 \cdot {{10}^{13}}}} = 18,2\;mm$$

Grenzwert der Enddurchbiegung

$${w_{fin,grenz}} = {l \over {250}} = {{6.200} \over {250}} = 24,8\;mm$$

Nachweis

$${{{w_{fin}}} \over {{w_{fin,grenz}}}} = {{18,2} \over {24,8}} = 0,73 < 1$$

Gesamte Endverformung

Durchbiegungsanteil infolge kurzzeitiger Belastung

$${w_{inst,short}} = {5 \over {384}} \cdot {{{q_{Ed,short}} \cdot {l^4}} \over {E{I_{TCC,inst}}}} = {5 \over {384}} \cdot {{1,96 \cdot {{6.200}^4}} \over {2,69 \cdot {{10}^{13}}}} = 1,40\;mm$$

Maximalwert der Endverformung

$${w_{fin,tot}} = {w_{fin}} + {w_{inst,short}} = 18,2 + 1,40 = 19,6\;mm$$

Nachweis

$${{{w_{fin,tot}}} \over {{w_{fin,grenz}}}} = {{19,6} \over {24,8}} = 0,79 < 1$$

Schwingungsnachweis

Summe der Steifigkeiten in Längsrichtung

unter Berücksichtigung des Estrichs: h_screed = 60,0 mm | E_screed = 25.000 N/mm²

$${\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,inst,x,ef}} = {\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,inst}} + {\left( {E \cdot I} \right)_{screed}} = 2,69 \cdot {10^{13}} + 25.000 \cdot 1.000 \cdot {{{{60,0}^3}} \over {12}} = 2,69 \cdot {10^{13}} + 4,50 \cdot {10^{11}} = 2,74 \cdot {10^{13}}\;Nm{m^2}$$

Summe der Steifigkeiten in Querrichtung

$${\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,inst,y,ef}} = {\left( {E \cdot I} \right)_{conc,y,inst}} + {\left( {E \cdot I} \right)_{screed}}$$

$$ = 33.000 \cdot 1.000 \cdot {{{{90,0}^3}} \over {12}} + 25.000 \cdot 1.000 \cdot {{{{60,0}^3}} \over {12}} = 2,00 \cdot {10^{12}} + 4,50 \cdot {10^{11}} = 2,45 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

Berechnung der 1. Eigenfrequenz

unter Vernachlässigung der Querverteilung

$${f_{\;1}} = {\pi \over {2 \cdot {l^2}}} \cdot \sqrt {{{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,inst,x,ef}}} \over m}} = {\pi \over {2 \cdot {{6,20}^2}}} \cdot \sqrt {{{2,74 \cdot {{10}^{13}} \cdot {{10}^{ - 6}}} \over {380 + 200}}} = 8,88\;Hz > \left\{ \matrix{ {f_{1,\min }} = 4,50\;Hz \hfill \cr {f_{gr}} = 8,00\;Hz \hfill \cr} \right.$$

unter Berücksichtigung der Querverteilung

mit Deckenfeldbreite b = 5,00 m | Annahme: Beton in Querrichtung ungerissen

$${f_{\;1}} = {\pi \over {2 \cdot {l^2}}} \cdot \sqrt {{{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,inst,x,ef}}} \over m}} \cdot \sqrt {1 + {{\left( {{l \over b}} \right)}^4} \cdot {{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,inst,y,ef}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,inst,x,ef}}}}} $$

$$ = {\pi \over {2 \cdot {{6,20}^2}}} \cdot \sqrt {{{2,74 \cdot {{10}^{13}} \cdot {{10}^{ - 6}}} \over {380 + 200}}} \cdot \sqrt {1 + {{\left( {{{6.200} \over {5.000}}} \right)}^4} \cdot {{2,45 \cdot {{10}^{12}}} \over {2,74 \cdot {{10}^{13}}}}} = 8,88 \cdot 1,10 = 9,77\;Hz > \left\{ \matrix{ {f_{1,\min }} = 4,50\;Hz \hfill \cr {f_{gr}} = 8,00\;Hz \hfill \cr} \right.$$

→ es ist das „Steifigkeitskriterium“ nachzuweisen

Nachweis des Steifigkeitskriteriums

unter Vernachlässigung der mitwirkenden Breite b_F

$${w_{1kN}} = {{F \cdot {l^3}} \over {48 \cdot {{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,inst,ef}}}} = {{1,00 \cdot {{6,20}^3}} \over {48 \cdot 2,74 \cdot {{10}^{13}}}} \cdot {10^{12}} = 0,181\;mm < 0,25\;mm$$

unter Berücksichtigung der mitwirkenden Breite b_F

$${b_f} = \min \left\{ \matrix{ {l \over {1,1}} \cdot \sqrt {{{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,inst,y,ef}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,inst,x,ef}}}}} \hfill \cr b \hfill \cr} \right. = \min \left\{ \matrix{ {{6,20} \over {1,1}} \cdot \sqrt {{{2,45 \cdot {{10}^{12}}} \over {2,74 \cdot {{10}^{13}}}}} = 1,69 \hfill \cr 5,00 \hfill \cr} \right. = 1,69\;m$$

$${w_{1kN}} = {{F \cdot {l^3}} \over {48 \cdot {{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,inst,ef}} \cdot {b_f}}} = {{1,00 \cdot {{6,20}^3}} \over {48 \cdot 2,74 \cdot {{10}^{13}} \cdot 1,69}} \cdot {10^{12}} = 0,107\;mm < 0,25\;mm$$

→ das Steifigkeitskriterium ist erfüllt

Zusammenfassung

Die HBV-Decke erfüllt hinsichtlich des Schwingungsverhaltens die Anforderungen an die Deckenklasse I gemäß ÖNORM B 1995-1-1:2019 [2].

Rissbreitenbegrenzung

Bei Flachdeckenkonstruktionen ist ein Nachweis zur Begrenzung der Rissbreite nicht erforderlich. Bei HBV-Rippen-Konstruktionen hingegen ist der Rissbreitennachweis gemäß ONR CEN/TS 19103:2022 [1] bzw. ÖNORM EN 1992-1-1:2015 [4], Tabelle 7.1N, zu führen. Die Grenzwerte können entweder durch Einhaltung der Regeln nach ÖNORM EN 1992-1-1:2015 [FIME], Abschnitt 7.3.3, oder durch direkte Berechnung der Rissbreite w_k gemäß EN 1992-1-1:2004, Abschnitt 7.3.4 eingehalten werden.

Alternativ zur Berechnung kann die Rissbreite auch durch den Einbau einer Mindestbewehrung gemäß ONR CEN/TS 19103:2022, Abschnitt 9.4.2 [1] in Verbindung mit Tabelle 9.1 begrenzt werden.