Beispiel Holz-Beton-Verbund Rippendecke

Angabe

Berechnungsannahmen:

Berechnung gemäß ONR CEN/TS 19103:2022 [2] mit dem Stabwerksmodell nach Rautenstrauch [3]. Vernachlässigung des Ausfalls der Koppelstäbe bei Zugbeanspruchung in der Verbundfuge.

Verwendung der nationalen Festlegungen für Österreich der Grundlagendokumente für Holz (ÖNORM EN 1995-1-1:2019) [4] und Beton (ÖNORM EN 1992-1-1:2015) [5] in den Nachweisen im Grenzzustand der Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit, sofern nicht anders angegeben.

Festigkeitskennwerte

Brettschichtholz (BSH)

$${f_{m,g,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_{m,g,k}}} \over {{\gamma _M}}} = 0,80 \cdot {{24,0} \over {1,25}} = 15,4\;N/m{m^2}$$

$${f_\text{c,0,g,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_\text{c,0,g,k}}} \over {{\gamma _\text{M}}}} = 0,80 \cdot {{24,0} \over {1,25}} = 15,4\text{ N/mm}^2$$

$${f_{t,0,g,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_{t,0,g,k}}} \over {{\gamma _M}}} = 0,80 \cdot {{19,2} \over {1,25}} = 12,3\;N/m{m^2}$$

$${f_{v,g,d}} = {k_{\bmod }} \cdot {{{f_{v,g,k}}} \over {{\gamma _M}}} = 0,80 \cdot {{2,50} \over {1,25}} = 1,60\;N/m{m^2}$$

Beton

Druckfestigkeit C35/45 gemäß ÖNORM EN 1992-1-1:2015 [5]

$${f_{cd}} = {\alpha _{cc}} \cdot {{{f_{ck}}} \over {{\gamma _c}}} = 1,00 \cdot {{35,0} \over {1,50}} = 23,3\;N/m{m^2}$$

Betonstahl

BST 550

$${f_{yd}} = {{{f_{yk}}} \over {{\gamma _s}}} = {{550} \over {1,15}} = 478\;N/m{m^2}$$

Einwirkungskombinationen

Einwirkungskombinationen für Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit (ULS)

Berechnung Eigengewicht

$${g_{k,1}} = {\gamma _{conc}} \cdot {b_{conc}} \cdot {t_{conc}} + {\gamma _{glt}} \cdot {b_{glt}} \cdot {t_{glt}} = 25,0 \cdot 1,35 \cdot 0,120 + 5,50 \cdot 2 \cdot 0,240 \cdot 0,280 = 4,05 + 0,739 = 4,79 \approx 4,80\;kN/m$$

Umrechnung der Flächenlasten auf die Trägerbreite b_sys = 1,35 m

Ausbaulast:

$${g_{k,2}} = g_{_{k,2}} \cdot {b_{sys}} = 2,00 \cdot 1,35 = 2,70\;kN/m$$

Nutzlast:

$${q_k} = q_k \cdot {b_{sys}} = 3,50 \cdot 1,35 = 4,73\;kN/m$$

Grundkombination (t = 0) gemäß EN 1990 [6]

$${q_d}_{,t = 0} = \sum {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}} + {\gamma _{Q,1}} \cdot {q_{k,1}} + \sum {{\gamma _{Q,i}} \cdot {q_{k,i}}} = 1,35 \cdot \left( {4,80 + 2,70} \right) + 1,50 \cdot 4,73 = 17,2\;kN/m$$

Grundkombination (t = ∞) gemäß ONR CEN/TS 19103:2022-04-01 [2]

Aufgrund des unterschiedlichen Kriechverhaltens des Betons, des Holzes und der Verbundmittel (Kerven) werden die Einwirkungen (Lasten) im Grenzzustand der Tragfähigkeit zum Zeitpunkt t = ∞ in „kriechwirksame“ und „nicht kriechwirksame“ unterschieden. Die resultierenden Spannungen in der BSP-Beton-Verbundkonstruktion ergeben sich gemäß der Technischen Spezifikation [2] durch Überlagerung der Schnittgrößen aus dem quasi-ständigen Lastanteil (q_perm,d) und den Spannungen aus Schwinden, berechnet mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = ∞ sowie der Spannungen aus dem kurz wirkenden Lastanteil (nicht kriechwirksam, q_short,d) berechnet mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = 0.

$${q_{d,t = \infty }} = \left[ {\sum {\left( {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}} \right)} + {\gamma _{Q,i}} \cdot {q_{k,i}}} \right] = {q_{perm,d}}+{q_{short,d}}=\left[ {\sum {\left( {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}} \right)} + {\gamma _{Q,i}} \cdot {\psi _{2,i}} \cdot {q_{k,i}}} \right] + \left[ {{\gamma _{Q,i}} \cdot \left( {1 - {\psi _{2,i}}} \right) \cdot {q_{k,i}}} \right]$$

quasi-ständiger Lastanteil

$${q_{perm,d}} = \sum {\left( {{\gamma _{G,j}} \cdot {g_{k,j}}} \right)} + \sum {\left( {{\gamma _{Q,i}} \cdot {\psi _{2,i}} \cdot {q_{k,i}}} \right)} = 1,35 \cdot \left( {4,80 + 2,70} \right) + 1,50 \cdot 0,30 \cdot 4,73 = 12,3\;kN/m$$

kurzzeitiger Lastanteil

$${q_{short,d}} = \sum {\left( {{\gamma _{Q,i}} \cdot \left( {1 - {\psi _{2,i}}} \right) \cdot {q_{k,i}}} \right)} = 1,50 \cdot \left( {1 - 0,30} \right) \cdot 4,73 = 4,97\;kN/m$$

Einwirkungskombinationen für Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (SLS)

charakteristische Lastkombination

$${q_{Ed,rare}} = \sum {{g_{k,j}}} + \sum {{q_{k,i}}} = \left( {4,80 + 2,70} \right) + 4,73 = 12,2\;kN/m$$

quasi-ständige Lastkombination

$${q_{Ed,perm}} = \sum {{g_{k,j}}} + \sum {\left( {{\psi _{2.i}} \cdot {q_{k,i}}} \right)} = 4,80 + 2,70 + 0,3 \cdot 4,73 = 8,92\;kN/m$$

kurzzeitig wirkende Lastanteil

$${q_{Ed,short}} = \sum {\left( {1 - {\psi _{2,i}}} \right) \cdot {q_{k,i}}} = \left( {1 - 0,30} \right) \cdot 4,73 = 3,31\;kN/m$$

Baustatische Modellierung

Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit (ULS)

Berechnung mit den Anfangssteifigkeiten (zum Zeitpunkt t = 0)

Querschnittswerte der Brettschichtholzrippe

Bemessungswert des E-Moduls

$${E_{0,g,mean,d,t = 0}} = {{{E_{0,g,mean}}} \over {{\gamma _M}}} = {{11.500} \over {1,25}} = 9.200\;N/mm^2$$

Querschnittswerte

$${\left( {E \cdot A} \right)_{glt,d,t = 0}} = {E_{0,g,mean,d,t = 0}} \cdot A = 9.200 \cdot 2 \cdot 240 \cdot 280 = 1,24 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{glt,y,d,t = 0}} = {E_{0,g,mean,d,t = 0}} \cdot {{{b_{glt}} \cdot h_{glt}^3} \over {12}} = 9.200 \cdot 2 \cdot {{240 \cdot {{280}^3}} \over {12}} = 8,08 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

Querschnittswerte des Betonquerschnitts

Bemessungswert des E-Moduls

$${E_{conc,d,t = 0}} = {{{E_{cm}}} \over {{\gamma _c}}} = {{34.000} \over {1,50}} = 22.700\;N/m{m^2}$$

$${b_w} = 2 \cdot {b_{glt}} = 2 \cdot 240 = 480\;mm$$

Querschnittswerte (unter Vernachlässigung der Bewehrung in der Steifigkeitsberechnung)

$${b_{eff}} = \min \left\{ \matrix{ \sum {{b_{eff,i}} + {b_w}} \hfill \cr {b_{sys}} \hfill \cr} \right. = \min \left\{ \matrix{ 2 \cdot 0,837 + 2 \cdot 0,240 = 2,15 \hfill \cr 1,35 \hfill \cr} \right. = 1,35\;m$$

$$\eqalign{ & {b_{eff,i}} & = 0,2 \cdot {b_i} + 0,1 \cdot l \le 0,2 \cdot l \cr & {b_{eff,1}} & = {b_{eff,2}} = 0,2 \cdot 0,435 + 0,1 \cdot 7,50 = \underline {0,837\;m} < 0,2 \cdot 7,50 = 1,50\;m \cr} $$

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,t = 0}} = {E_{conc,d,t = 0}} \cdot {b_{eff}} \cdot {h_{conc}} = 22.700 \cdot 1.350 \cdot 120 = 3,68 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,d,t = 0}} = {E_{conc,d,t = 0}} \cdot {b_{eff}} \cdot {{h_{conc}^3} \over {12}} = 22.700 \cdot 1.350 \cdot {{{{120}^3}} \over {12}} = 4,41 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

ideelle Biegesteifigkeit einer Schubkonsole

Berechung der Kervensteifigkeit mit der Kervenbreite b_n = 2 · 0,200 = 0,400 m

$${K_{u,d,t = 0}} = {K_{ser,d,t = 0}} = {{{K_{ser}}} \over {{\gamma _M}}} \cdot {b_n} = {{1.500} \over {1,25}} \cdot 0,400 = 480\;kN/mm$$

$${z_{conc}} = {{\left( {{h_{conc}} + {h_n}} \right)} \over 2} = {{\left( {120 + 35,0} \right)} \over 2} = 77,5\;mm$$

$${z_{glt}} = {{\left( {{h_{glt}} - {h_n}} \right)} \over 2} = {{\left( {280 - 35,0} \right)} \over 2} = 123\;mm$$

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{t = 0}^ * = {{{K_{u,d,t = 0}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{glt}}^3} \right) = {{480 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{77,5}^3} + {{123}^3}} \right) = 3,72 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Iteration zur Bestimmung der gerissenen Betonhöhe zur Bestimmung der Steifigkeiten des Betons im gerissenen Zustand (Zustand II)

Die Berechnung der Schnittkräfte erfolgte mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes mit den zuvor angeführten Querschnitts- und Kervensteifigkeiten (Beton ungerissen - Zustand I) und der charakteristischen (seltenen) Einwirkungskombination q_Ed,rare= 12,2 kN/m zur Ermittlung der Risstiefe, um damit die Umlagerung der Schnittkräfte vom Beton- auf den Brettschichtholzquerschnitt zu berücksichtigen.

Berechnung des 1. Iterationsschrittes (mit N_conc = -272 kN und M_conc = 11,0 kNm aus dem Stabwerksprogramm)

Vereinfachung: Betonzugfestigkeit f_ctd = 0 N/mm²

$$\sigma = \left[ {{{{N_{conc}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} \pm {{{M_{conc}}} \over {{{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} \cdot z} \right] \cdot {E_{conc,d,t = 0}} \le {f_{ctd}} = 0$$

$$ \to z = - {{{N_{conc}} \cdot {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{conc,d,t = 0}}} \over {{M_{conc}} \cdot {{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} = - {{ - 272 \cdot {{10}^3} \cdot 4,41 \cdot {{10}^{12}}} \over {11,0 \cdot {{10}^6} \cdot 3,68 \cdot {{10}^9}}} = 29,6\;mm$$

$${h_{conc,red}} = {{{h_{conc}}} \over 2} + z = {{120,0} \over 2} + 29,6 = 89,6\;mm$$

$${z_{conc,i = 1}} = {h_{conc}} + {{{h_n}} \over 2} - {{{h_{conc,red}}} \over 2} = 120,0 + {{35,0} \over 2} - {{89,6} \over 2} = 92,7\;mm$$

Berechnung der neuen Querschnittswerte der Betonplatte

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,t = 0}} = {E_{conc,d,t = 0}} \cdot {b_{eff}} \cdot {h_{conc,red}} = 22.700 \cdot 1.350 \cdot 89,6 = 2,75 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,d,t = 0}} = {E_{conc,d,t = 0}} \cdot {b_{eff}} \cdot {{h_{conc,red}^3} \over {12}} = 22.700 \cdot 1.350 \cdot {{{{89,6}^3}} \over {12}} = 1,84 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

ideelle Biegesteifigkeit einer Schubkonsole

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{t = 0}^ * = {{{K_{u,d,t = 0}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{glt}}^3} \right) = {{480 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{92,7}^3} + {{123}^3}} \right) = 4,25 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Kontrolle Dekompression

Aus dem 3. Iterationsschritt ergibt sich eine reduzierte überdrückte Betonhöhe von h_conc,red = 81,4 mm. Die Kontrolle der Dekompression wird über die Berechnung der Normalspannungen in der Faser z_i = h_conc,red / 2 = 81,4 / 2 mm = 40,7 mm geführt.

$$\sigma = \left[ {{{{N_{conc}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} + {{{M_{conc}}} \over {{{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{conc,d,t = 0}}}} \cdot z} \right] \cdot {E_{conc,d,t = 0}}= \left[ {{{ - 274 \cdot {{10}^3}} \over {2,49 \cdot {{10}^9}}} + {{3,70 \cdot {{10}^6}} \over {1,37 \cdot {{10}^{12}}}} \cdot {{81,4} \over 2}} \right] \cdot 22.700 = - 2,50 + 2,50 \approx 0\;N/m{m^2}$$

Schnittkraftberechnung

Ermittlung der Schnittkräfte mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = 0

Schnittkräfte und Spannungen für die Grundkombination mit q_d,t=0 = 17,2 kN/m (Nachweis ULS t = 0)

Hinweis: Ermittlung der Schnittkräfte aus der Iteration 3 vom charakteristischen (q_Ed,rare) Lastniveau auf jenes der Grundkombination (q_d,t=0):

N_glt,d = - N_conc,d = N_glt ⋅ q_d / q_Ed,rare = 274 ⋅ 17,2 / 12,2 = 386 kN

M_conc,d = M_conc ⋅ q_d / q_Ed,rare = 3,70 ⋅ 17,2 / 12,2 = 5,22 kNm

M_glt,d = M_glt ⋅ q_d / q_Ed,rare = 21,9 ⋅ 17,2 / 12,2 = 30,9 kNm

N_Kerve1,d = N_Kerve1 ⋅ q_d / q_Ed,rare = 110 ⋅ 17,2 / 12,2 = 155 kN

N_Kerve2,d = N_Kerve2 ⋅ q_d / q_Ed,rare = 85,2 ⋅ 17,2 / 12,2 = 120 kN

N_Kerve3,d = N_Kerve3 ⋅ q_d / q_Ed,rare = 78,4 ⋅ 17,2 / 12,2 = 111 kN

Schnittkräfte und Spannungen für die quasi-ständige Kombination q_qu-st,d = 12,3 kN/m und kurzzeitigen Lastanteil q_short,d = 4,97 kN/m

Ermittlung der Spannungen von der Grundkombination auf die quasi-ständige Kombination q_perm,d = 12,3 kN/m und kurzzeitigen Lastanteil q_short,d = 4,97 kN/m mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = 0:

Ermittlung der Kervenkräfte für den kurzzeitigen Lastanteil q_short,d = 4,97 kN/m (Nachweis Kerve ULS t = ∞)

N_Kerve1,d = N_Kerve1 ⋅ q_short,d / q_Ed,rare = 155 ⋅ 4,97 / 17,2 = 44,8 kN

N_Kerve2,d = N_Kerve2 ⋅ q_short,d / q_Ed,rare = 120 ⋅ 4,97 / 17,2 = 34,7 kN

N_Kerve3,d = N_Kerve3 ⋅ q_short,d / q_Ed,rare = 111 ⋅ 4,97 / 17,2 = 32,1 kN

Schnittkräfte mit Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = ∞

Ermittlung des Beiwertes zur Berücksichtigung des Systemkriechverhaltens (siehe ONR CEN/TS 19103:2022)

$${\gamma _1} = {{{{\left( {E \cdot A} \right)}_{glt,d,t = 0}} \cdot {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{glt,d,t = 0}} \cdot {N_{glt}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,d,t = 0}} \cdot \left[ {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{glt,d,t = 0}} \cdot {M_{glt}} \cdot \left( {{z_{conc}} + {z_{glt}}} \right) - {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{glt,d,t = 0}} \cdot {N_{glt}}} \right]}}$$

$$ = {{1,24 \cdot {{10}^9} \cdot 8,08 \cdot {{10}^{12}} \cdot 274 \cdot {{10}^3}} \over {2,49 \cdot {{10}^9} \cdot \left[ {1,24 \cdot {{10}^9} \cdot 21,9 \cdot {{10}^6} \cdot \left( {96,8 + 123} \right) - 8,08 \cdot {{10}^{12}} \cdot 274 \cdot {{10}^3}} \right]}} = 0,294$$

Koeffizient zur Berücksichtigung der Auswirkungen der Verbundwirkungen auf die Kriechzahl des Betonquerschnitts aus Tab. 7.1 ONR CEN/TS 19103:2022 [2]

für φ₀ = 2,50 und k_def = 0,60

$${\psi _{conc}} = 2,0 - 0,5 \cdot {\gamma _1}^{1,9} = 2,0 - 0,5 \cdot {0,294^{1,9}} = 1,95$$

Ermittlung der Schnittkräfte mit den Querschnittswerten zum Zeitpunkt t = ∞

Querschnittswerte der Brettschichtholzrippe

$${\left( {E \cdot A} \right)_{glt,d,t = \infty }} = {E_{0,g,mean,d,t = \infty }} \cdot A = 5.750 \cdot 2 \cdot 240 \cdot 280 = 7,73 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{glt,d,t = \infty }} = {E_{0,g,mean,d,t = \infty }} \cdot {{{b_{glt}} \cdot h_{glt}^3} \over {12}} = 5.750 \cdot 2 \cdot 240 \cdot 280 = 5,05 \cdot {10^{12}}\;Nmm^2$$

Querschnittswerte des Betonquerschnitts (im Zustand II) zum Zeitpunkt t = ∞ mit h_conc,red,t=0 = 81,4 mm unter Vernachlässigung der Bewehrung

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,d,t = \infty }} = {E_{conc,d,t = \infty }} \cdot {b_{eff}} \cdot {h_{conc,red,t = 0}} = 3.860 \cdot 1.350 \cdot 81,4 = 4,24 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,d,t = \infty }} = {E_{conc,d,t = \infty }} \cdot {b_{eff}} \cdot {{h_{conc,red,t = 0}^3} \over {12}} = 3.860 \cdot 1.350 \cdot {{{{81,4}^3}} \over {12}} = 2,34 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Ermittlung der ideellen Biegesteifigkeit einer Schubkonsole

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{d,t = \infty }^ * = {{{K_{u,d,t = \infty }}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{glt}}^3} \right) = {{218 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{96,8}^3} + {{123}^3}} \right) = 2,01 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

$${z_{conc}} + {z_{glt}} = 123 + 96,8 = 220\;mm$$

Ermittlung der Schnittkräfte für den quasi-ständig Lastanteil zur Berechnung der kriechwirksamen Spannungen im ULS zum Zeitpunkt t = ∞

Schnittkräfte berechnet mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes (q_perm,d = 12,2 kN/m)

N_glt,d = - N_conc,d = 240 kN

M_conc,d = 1,25 kNm

M_glt,d = 31,8 kNm

N_Kerve1,d = 95,7 kN

N_Kerve2,d = 75,5 kN

N_Kerve3,d = 68,3 kN

Ermittlung der Schnittkräfte und Spannungen infolge der unelastischen Verzerrungen des Betons (Schwinden) im ULS, t = ∞

Bemessungswert der effektiven Schwinddehnung

$${\varepsilon _{ef,conc,d}}\left( {t = \infty } \right) = {\gamma _{SH}} \cdot 0,9 \cdot {\varepsilon _{cs,t = \infty }} = 1,35 \cdot 0,9 \cdot \left( { - 0,350} \right) = - 0,425\;‰$$

Schnittkräfte berechnet mit Hilfe eines Stabwerkprogrammes

N_glt,d = - N_conc,d = -32,5 kN

M_conc,d = 0,270 kNm

M_glt,d = 6,88 kNm

N_Kerve1,d = -22,9 kN

N_Kerve2,d = -7,11 kN

N_Kerve3,d = -2,45 kN

Kräfte und Spannungen nach 3 bis 7 Jahren

Überprüfung, ob die Kräfte und Spannungen nach 3 bis 7 Jahren nachzuweisen sind:

zum Zeitpunkt t = 0

- für die quasi-ständige Einwirkungskombination

$${\eta _{glt,perm,d,t = 0}} = {{{\sigma _{glt,t,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,glt,t,0,d}}}} + {{{\sigma _{glt,m,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,glt,m,d}}}} = {{2,05} \over {12,3}} + {{3,52} \over {15,4}} = 0,167 + 0,229 = 0,396$$

- für den kurzzeitig wirkenden Anteil der Einwirkungskombination

$${\eta _{glt,short,d,t = 0}} = {{{\sigma _{glt,t,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,glt,t,0,d}}}} + {{{\sigma _{glt,m,d;\,t = 0}}} \over {{f_{\,glt,m,d}}}} = {{0,831} \over {12,3}} + {{1,42} \over {15,4}} = 0,0676 + 0,0922 = 0,160$$

zum Zeitpunkt t = ∞

- für die quasi-ständige Einwirkungskombination

$${\eta _{glt,perm,d,t = \infty }} = {{{\sigma _{glt,t,d,\,t = \infty }}} \over {{f_{\,glt,t,0,d}}}} + {{{\sigma _{glt,m,d,t = \infty }}} \over {{f_{\,glt,m,d}}}} = {{1,79} \over {12,3}} + {{5,07} \over {15,4}} = 0,146 + 0,329 = 0,475$$

→ ist der Spannungsnachweis für das BSH bei Erhöhung der Spannungen für die quasi-ständige Einwirkungskombination um 25% weiterhin erfüllt, erübrigt sich der Nachweis zum Zeitpunkt t = 3 und 7 Jahre

t=0

$$1,25 \cdot {\eta _{glt,perm,d;t = 0}} + {\eta _{glt,short,d;t = 0}} = 1,25 \cdot 0,396 + 0,160 = 0,66 < 1$$

t=∞

$$1,25 \cdot {\eta _{glt,perm,d;t = \infty }} + {\eta _{glt,short,d;t = 0}} = 1,25 \cdot 0,475 + 0,160 = 0,75 < 1$$

→ d. h. es sind keine zusätzlichen Zeitpunkte zu betrachten.

Zusammenfassung der Spannungen und Kervenkräfte

Nachweisführungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit (ULS)

Nachweise Brettschichtholz

Normalspannungsnachweis

maßgebender Nachweis: Zeitpunkt t = ∞

$${{{\sigma _{t,g,0,d}}} \over {{f_{\,t,g,0,d}}}} + {{{\sigma _{m,g,d}}} \over {{f_{\,m,g,d}}}} = {{2,38} \over {12,3}} + {{7,59} \over {15,4}} = 0,193 + 0,493 = 0,69 < 1$$

Schubspannungsnachweise

Bemessungswert der Einwirkung

$${V_{clt,d}} = {q_d} \cdot {l \over 2} = 17,2 \cdot {{7,50} \over 2} = 64,5\;kN$$

Schubspannungen

$${\tau _{glt,d}} = 1,5 \cdot {{{V_{A,d}}} \over {{A_{glt}}}} = 1,5 \cdot {{64,5 \cdot {{10}^3}} \over {2 \cdot 240 \cdot 280}} = 0,720\;N/m{m^2}$$

Nachweis

$${{{\tau _{glt,d}}} \over {{f_{\,v,g,d}}}} = {{0,720} \over {1,60}} = 0,45 < 1$$

Nachweis Beton

Nachweis der Betondruckspannung in Feldmitte

maßgebender Nachweis: Zeitpunkt t = 0

$${{{\sigma _{conc,o,d,t = 0}}} \over {{f_{\,cd}}}} = {{\left| { - 7,04} \right|} \over {23,3}} = 0,30 < 1$$

Nachweis Druckgurtanschluss (Typ 1) nach ÖNORM EN 1992-1-1:2015 [5]

maßgebender Nachweis: Kerve 1 zum Zeitpunkt t = 0

Berechnung Druckstrebenwinkel Kerve 1

$$\tan \left( {{\theta _f}} \right) = \left( {{{{{{b_{eff}}} \over 4} - {{{b_w}} \over 4}} \over {{{{x_{Kerve}}} \over 2}}}} \right) = \left( {{{{b_{eff}} - {b_w}} \over {2 \cdot {x_{Kerve}}}}} \right) = \left( {{{1.350 - 480} \over {2 \cdot 650}}} \right) = 0,669\; \to \;{\theta _f} = 33,8^\circ $$

Grenzen Druckstrebenwinkel

$$26,5°<\theta_f = 33,8 < 45,0^\circ $$

Versagen der Druckstreben

Hydrostatischer Spannungszustand (Druckknoten Typ 1)

$${\sigma _{cd}} = {\sigma _{cd,1}} = {\sigma _{cd,2}} = {\sigma _{cd,3}}$$

Annahme: Höhe der Druckstrebe bleibt ungerissen und entspicht der Höhe des Betonquerschnittes h_conc = 120 mm

$${F_{cd,1}} = {{{N_{Kerve,1}}} \over 2}$$

$${\sigma _{cd}} = {\sigma _{cd,1}} = {{{F_{cd,1}}} \over {{a_1} \cdot b}} = {{{N_{Kerve,1}}} \over {2 \cdot {a_1} \cdot {h_{conc}}}} = {{155 \cdot {{10}^3}} \over {2 \cdot 200 \cdot 120}} = 3,23\;N/m{m^2}$$

Bemessungswert der Festigkeit von Betonstreben mit Querzug (vgl. ÖNORM EN 1992-1-1:2015 Gl. (6.56) [5] & ÖNORM B 1992-1-1:2011 Abschnitt 9.5.2 [8])

$${\sigma _{Rd}} = \nu ' \cdot {f_{cd}} = {k_1} \cdot \left( {1 - {{{f_{ck}}} \over {250}}} \right) \cdot {f_{cd}} = 0,60 \cdot \left( {1 - {{35,0} \over {250}}} \right) \cdot 23,3 = 12,0\;N/m{m^2}$$

Nachweis

$${{{\sigma _{cd}}} \over {{\sigma _{Rd}}}} = {{3,23} \over {12,0}} = 0,27 < 1$$

Versagen der Zugstrebe (Querbewehrung)

Nachweis Verbindung (Kerve)

Bemessungswert der Einwirkung

$${F_{v,Ed}} = \max \;{N_{Kerve1,d;t = 0}} = 155\;kN$$

Berechnung der minimalen und maximalen Druckstrebenneigung

$$\min \;\Theta = \max \left\{ {\matrix{ {\arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {{h_{conc}} + {h_n}} \right)} \over {{l_n} + {l_s}}}} \right)} \hfill \cr {\arctan \left( {{{{h_n}} \over {{l_n}}}} \right)} \hfill \cr } } \right. = \max \left\{ {\matrix{ {\arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {120 + 35,0} \right)} \over {200 + 250}}} \right) = 6,80^\circ } \hfill \cr {\arctan \left( {{{35,0} \over {200}}} \right) = 9,93^\circ } \hfill \cr } } \right. = 9,93^\circ $$

$$\max \;\Theta = 45^\circ $$

Bestimmung der Druckstrebenneigung bis zur Abhebesicherung (mit x_screw = 240 mm)

$$\Theta = \arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {{h_{conc}} + {h_n}} \right)} \over {{l_n} + {x_{screw}}}}} \right) = \arctan \left( {{{0,5 \cdot \left( {120 + 35,0} \right)} \over {200 + 240}}} \right) = 9,99^\circ $$

gewählt: Θ = 10,0°

Versagensmodi der Kerve

a) Schubversagen Beton

$$\nu = 0,6 \cdot \left( {1 - {{{f_{\,ck}}} \over {250}}} \right) = 0,6 \cdot \left( {1 - {{35,0} \over {250}}} \right) = 0,516$$

$${f_{\,vcd}} = {{\nu \cdot {f_{\,cd}}} \over {\cot \theta + \tan \theta }} = {{0,516 \cdot 23,3} \over {\cot \left( {10,0} \right) + \tan \left( {10,0} \right)}} = 2,06\;N/m{m^2}$$

$${F_{Rd;\,a}} = {f_{\,vcd}} \cdot {b_n} \cdot {l_n} = 2,06 \cdot 2 \cdot 200 \cdot 200 = 165.000\;N = 165\;kN$$

b) Druckversagen Beton

$${F_{Rd;\,b}} = {f_{\,cd}} \cdot {b_n} \cdot {h_n} = 23,3 \cdot 2 \cdot 200 \cdot 35,0 = 326.000\;N = 326\;kN$$

c) Schubversagen BSH

$${l_{v,a,calc}} \le 8 \cdot {h_n} = 8 \cdot 35,0 = \underline {280\;mm} < \min \;{l_{v,a}} = 600\;mm$$

$${F_{Rd;\,c}} = {k_{cr}} \cdot {f_{v,g,d}} \cdot {b_n} \cdot {l_{v,a,calc}} = 1,00 \cdot 1,60 \cdot 2 \cdot 200 \cdot 280 = 179.200\;N = 179\;kN$$

d) Druckversagen BSH

$${F_{Rd;\,d}} = {f_{c,0,g,d}} \cdot {b_n} \cdot {h_n} = 15,4 \cdot 2 \cdot 200 \cdot 35,0 = 215.600\;N = 216\;kN$$

Zusammenfassung der Tragfähigkeiten für die jeweiligen Versagensmodi

$${F_{Rd}} = \min \left\{ {\matrix{ {{F_{Rd;\,a}}} \cr {{F_{Rd;\,b}}} \cr {{F_{Rd;\,c}}} \cr {{F_{Rd;\,d}}} \cr } } \right. = \min \left\{ {\matrix{ {165\;kN} \cr {326\;kN} \cr {179\;kN} \cr {216\;kN} \cr } } \right. = 165\;kN$$

Nachweis der Tragfähigkeit der Kerve

$${{{F_{v,Ed}}} \over {{F_{Rd}}}} = {{155} \over {165}} = 0,94 < 1$$

Nachweis der Abhebesicherung

$${F_{t,Ed}} = \max \left\{ {\matrix{ {{F_{v,Ed}} \cdot \tan \theta } \hfill \cr {0,1 \cdot {F_{v,Ed}}} \hfill \cr } } \right. = \max \left\{ {\matrix{ {155 \cdot \tan \left( {10,0} \right) = 27,3\;kN} \hfill \cr {0,1 \cdot 155 = 15,5\;kN} \hfill \cr } = 27,3\;kN} \right.$$

gewählt: Tellerkopfschraube Ø 8 | 260 mm, l_g = l_ef = 100 mm

Tragfähigkeit einer Schraube auf Herausziehen

$${f_{\,ax,k}} = 0,52 \cdot {d^{ - 0,5}} \cdot {l_{ef}}^{ - 0,1} \cdot {\rho _k}^{0,8} = 0,52 \cdot {8,00^{ - 0,5}} \cdot {100^{ - 0,1}} \cdot {385^{0,8}} = 13,6\;N/m{m^2}$$

$${k_d} = \min \left\{ {{d \over \matrix{ 8 \hfill \cr 1 \hfill \cr} }} \right. = \min \left\{ {{{8,00} \over \matrix{ 8 \hfill \cr 1 \hfill \cr} } = 1,00} \right. = 1,00$$

$${F_{ax,Rd}} = \min \left\{ {\matrix{ {{{{f_{ax,k}} \cdot d \cdot {l_{ef}} \cdot {k_d}} \over {1,2 \cdot {{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }} \cdot {{{k_{\bmod }}} \over {{\gamma _{M,Verb}}}}} \hfill \cr {{A_s} \cdot {{0,9 \cdot {f_{u,k}}} \over {{\gamma _{M\;2}}}}} \hfill \cr } } \right. = \min \left\{ {\matrix{ {{{13,6 \cdot 8,00 \cdot 100 \cdot 1,00} \over {1,2 \cdot {{\cos }^2}90,0 + {{\sin }^2}90}} \cdot {{0,80} \over {1,30}}} \hfill \cr {{{{{\left( {0,65 \cdot 8,00} \right)}^2} \cdot \pi } \over 4} \cdot {{0,9 \cdot 950} \over {1,25}}} \hfill \cr } } \right. = \min \left\{ {\matrix{ {6.695\;N} \hfill \cr {14.526\;N} \hfill \cr } } \right. = 6,70\;kN$$

Berechnung der Schraubenanzahl

$${F_{t,Ed}} \le {R_{ax,d}} = {n^{0,9}} \cdot {F_{ax,d}}$$

$$ \to n = {\left( {{{{F_{t,Ed}}} \over {{F_{ax,d}}}}} \right)^{\,{1 \over {0,9}}}} = {\left( {{{27,3} \over {6,70}}} \right)^{1,11}} = 4,8\;Stk$$

gewählt: 6 x Tellerkopfschraube Ø 8 | 260, l_g = 100 mm

Festlegung und Überprüfung der Randabstände:

Mindest-Schraubenabstand rechtwinklig zu einer parallel zur Faserrichtung und Schraubenachse liegenden Ebene:

a_2,req = 5·d = 5⋅8 = 40,0 mm < a_2,prov = 50,0 mm

Mindestrandabstand des Schwerpunkts des Schraubengewindes im Bauteil:

a_2,CG,req = 4·d = 4 ⋅8 = 32,0 mm < a_2,CG,prov = 70,0 mm

Überprüfung der erforderlichen Rippenbreite

b_Rippe,req = 2⋅a_2,CG + (n − 1)⋅a₂ = 2⋅4·d + (n − 1)⋅5·d = 2⋅4⋅8,00 + (3 − 1)⋅5⋅8,00 = 144 mm

b_Rippe,prov = 2⋅a_2,CG,prov + (n− 1)⋅a_2,prov = 2⋅70,0 + (3 − 1)⋅50,0 = 240 mm

b_Rippe,req = 144 mm < b_Rippe,prov = 240 mm

Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (SLS)

Nachweis der Begrenzung der Anfangsdurchbiegung (t = 0)

Querschnittswerte – SLS zum Zeitpunkt t = 0

Querschnittswerte der Brettschichtholzrippe

$${\left( {E \cdot A} \right)_{glt,inst}} = {E_{0,mean}} \cdot A = 11.500 \cdot 2 \cdot 240 \cdot 280 = 1,55 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{glt,y,inst}} = {E_{0,mean}} \cdot {{b \cdot {h^3}} \over {12}} = 11.500 \cdot 2 \cdot {{240 \cdot {{280}^3}} \over {12}} = 1,01 \cdot {10^{13}}\;Nm{m^2}$$

Querschnittswerte des gerissenen Betonquerschnittes

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,inst}} = {E_{cm}} \cdot {b_{eff}} \cdot {h_{conc,red}} = 34.000 \cdot 1.350 \cdot 81,4 = 3,74 \cdot {10^9}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,inst}} = {E_{cm}} \cdot {b_{eff}} \cdot {{h_{conc,red}^3} \over {12}} = 34.000 \cdot 1.350 \cdot {{{{81,4}^3}} \over {12}} = 2,06 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}\;$$

ideelle Biegesteifigkeit einer Schubkonsole

$${z_{conc}} = {h_{conc}} + {{{h_n} - {h_{conc,red}}} \over 2} = 120 + {{35,0 - 81,4} \over 2} = 96,8\;mm$$

$${z_{glt}} = {{{h_{glt}} - {h_n}} \over 2} = {{280 - 35,0} \over 2} = 123\;mm$$

$${K_{u,inst}} = {K_{ser,inst}} = {K_{ser}} \cdot {b_n} = 1.500 \cdot 0,400 = 600\;kN/mm$$

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{inst}^ * = {{{K_{ser}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{glt}}^3} \right) = {{600 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{96,8}^3} + {{123}^3}} \right) = 5,54 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Berechnung und Nachweis der vertikalen Anfangsdurchbiegung

Anfangsdurchbiegung für die seltene (charakteristische) Einwirkungskombination q_Ed,rare = 12,2 kN/m

Durchbiegung berechnet mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes

w_inst = 10,0 mm

Grenzwert der Anfangsdurchbiegung

$${w_{inst,grenz}} = {l \over {300}} = {{7.500} \over {300}} = 25,0\;mm$$

Nachweis

$${{{w_{inst}}} \over {{w_{inst,grenz}}}} = {{10,0} \over {25,0}} = 0,40 < 1$$

Schnittgrößen berechnet mit Hilfe eines Stabwerksprogrammes für die Berechnung der nachfolgend berechneten Koeffizienten γ₁ und ψ_conc:

N_{glt,Ed,rare,inst} = 275 kN
M_{glt,Ed,rare,inst} = 21,1 kNm

Nachweis der Begrenzung des Maximalbetrags der Enddurchbiegung (t = ∞)

Ermittlung des Beiwertes zur Berücksichtigung des Systemkriechbeiwertes

Schnittgrößen des BSP aufgrund des quasi-ständigen Lastanteiles und SLS-Querschnittswerten (Zustand II) zum Zeitpunkt t = 0

q_Ed,perm = 8,92 kN/m

N_{glt,Ed,perm,inst} = N_{glt,Ed,rare,inst} · q_Ed,perm / q_Ed,rare = 275 · 8,92 / 12,2 = 201 kN

M_{glt,Ed,perm,inst} = M_{glt,Ed,rare,inst} · q_Ed,perm / q_Ed,rare = 21,1 · 8,92 / 12,2 = 15,4 kNm

Koeffizient zur Berücksichtigung der Auswirkungen der Verbundwirkungen auf die Kriechzahl des Betonquerschnitts aus (siehe TS, Absch. 7.1.2 [2])

$${\gamma _1} = {{{{\left( {E \cdot A} \right)}_{glt,inst}} \cdot {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{glt,y,inst}} \cdot {N_{glt,Ed,perm,inst}}} \over {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{conc,inst}} \cdot \left[ {{{\left( {E \cdot A} \right)}_{glt,inst}} \cdot {M_{glt,Ed,perm,inst}} \cdot \left( {{z_{conc}} + {z_{glt}}} \right) - {{\left( {E \cdot {\rm I}} \right)}_{glt,y,inst}} \cdot {N_{glt,Ed,perm,inst}}} \right]}} = $$

$$ = {{1,55 \cdot {{10}^9} \cdot 1,01 \cdot {{10}^{13}} \cdot 201 \cdot {{10}^3}} \over {3,74 \cdot {{10}^9} \cdot \left[ {1,55 \cdot {{10}^9} \cdot 15,4 \cdot {{10}^6} \cdot \left( {96,8 + 123} \right) - 1,01 \cdot {{10}^{13}} \cdot 201 \cdot {{10}^3}} \right]}} = 0,262$$

$${\psi _{conc}} = 2,0 - 0,5 \cdot {\gamma _1}^{1,9} = 2,0 - 0,5 \cdot {0,262^{1,9}} = 1,96$$

Querschnittswerte – SLS zum Zeitpunkt t =∞

Querschnittswerte der Brettschichtholzrippe

$${\left( {E \cdot A} \right)_{glt,fin}} = {E_{0,mean,fin}} \cdot A = 7.190 \cdot 2 \cdot 240 \cdot 280 = 9,66 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{glt,y,fin}} = {E_{0,mean,fin}} \cdot {{b \cdot {h^3}} \over {12}} = 7.190 \cdot 2 \cdot {{240 \cdot {{280}^3}} \over {12}} = 6,31 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}$$

Querschnittswerte des gerissenen Betonquerschnittes

$${\left( {E \cdot A} \right)_{conc,fin}} = {E_{conc,fin}} \cdot {b_{eff}} \cdot {h_{conc,red}} = 5.760 \cdot 1.350 \cdot 81,4 = 6,33 \cdot {10^8}\;N$$

$${\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{conc,fin}} = {E_{conc,fin}} \cdot b \cdot {{h_{conc,red}^3} \over {12}} = 5.760 \cdot 1.350 \cdot {{{{81,4}^3}} \over {12}} = 3,50 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Ermittlung der ideellen Biegesteifigkeit einer Schubkonsole

$$\left( {E \cdot {\rm I}} \right)_{fin}^ * = {{{K_{ser,fin}}} \over 3} \cdot \left( {{z_{conc}}^3 + {z_{glt}}^3} \right) = {{273 \cdot {{10}^3}} \over 3} \cdot \left( {{{96,8}^3} + {{123}^3}} \right) = 2,52 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Berechnung und Nachweis der gesamten Enddurchbiegung

Durchbiegung aufgrund des quasi-ständigen Einwirkungsanteils (q_Ed,perm = 8,92 kN/m)

w_perm,fin = 17,7 mm

Durchbiegung aufgrund des Betonschwindens (zum Zeitpunkt t = ∞)

$${\varepsilon _{conc,fin}} = 0,9 \cdot {\varepsilon _{cs,t = \infty }} = 0,9 \cdot \left( { - 0,350} \right) = - 0,315\;‰$$

$$w_\text{SH,fin} = 6,90 \text{ mm}$$

Berechnung der gesamten Enddurchbiegung

$${w_{net,fin}} = {w_{perm,fin}} + {w_{SH,fin}} - {w_c} = 17,7 + 6,90 - 0 = 24,6\;mm$$

Grenzwert der Enddurchbiegung

$${w_{net,fin,grenz}} = {l \over {250}} = {{7.500} \over {250}} = 30,0\;mm$$

Nachweis

$${{{w_{net,fin}}} \over {{w_{net,fin,grenz}}}} = {{24,6} \over {30,0}} = 0,82 < 1$$

Schwingungsnachweis

- in Längsrichtung

Rückrechnung der effektiven Steifigkeit in Deckenlängsrichtung aus der Durchbiegungsberechnung zum Zeitpunkt t = 0

mit $w = {5 \over {384}} \cdot {{q \cdot {l^4}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_x}}}$

mit w_inst = 10,0 mm und q_Ed,rare = 12,2 kN/m aus dem Nachweis der vertikalen Anfangsdurchbiegung (für b_sys = b_eff = 1,35 m)

$$ \to {\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,x}} = {5 \over {384}} \cdot {{q \cdot {l^4}} \over w} = {5 \over {384}} \cdot {{12,2 \cdot {{7.500}^4}} \over {10,0}} = 5,03 \cdot {10^{13}}\;Nm{m^2}$$

Rückrechnung auf einen Deckenstreifen mit der Breite 1,00 m

$${\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,x,1\;m}} = {{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x}}} \over {{b_{sys}}}} = {{5,03 \cdot {{10}^{13}}} \over {1,35}} = 3,73 \cdot {10^{13}}\;Nm{m^2}/m$$

Estrich (Annahme h_screed = 65,0 mm | E_screed = 25.000 N/mm²)

$${\left( {E \cdot I} \right)_{screed}} = {E_{screed}} \cdot {{b \cdot h_{screed}^3} \over {12}} = 25.000 \cdot {{1.000 \cdot {{65,0}^3}} \over {12}} = 5,72 \cdot {10^{11}}\;Nm{m^2}$$

Summe der Steifigkeiten in Längsrichtung für einen Deckenstreifen mit der Breite b = 1,00 m

$${\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,x,ef}} = {\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,x,1\;m}} + {\left( {E \cdot I} \right)_{screed}} = 3,73 \cdot {10^{13}} + 5,72 \cdot {10^{11}} = 3,79 \cdot {10^{13}}\;Nm{m^2}/m$$

- in Querrichtung (b_y = 1,00 m)

Berechnung der Biegesteifigleit des Beton in der Querrichtung (Annahme: in Querrichtung bleibt der Beton in Zustand I)

$${\left( {E \cdot I} \right)_{conc,inst,y}} = {E_{cm}} \cdot {{{b_y} \cdot {h_{conc}}^3} \over {12}} = 34.000 \cdot {{1.000 \cdot {{120}^3}} \over {12}} = 4,90 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}/m$$

$${\left( {E \cdot I} \right)_{TCC,y,ef}} = {\left( {E \cdot I} \right)_{conc,inst,y}} + {\left( {E \cdot I} \right)_{screed}} = 4,90 \cdot {10^{12}} + 5,72 \cdot {10^{11}} = 5,47 \cdot {10^{12}}\;Nm{m^2}/m$$

Berechnung der 1. Eigenfrequenz

angenommene Breite des Deckenfeldes: b = 10,0 m

Überprüfung, ob eine Querverteilungswirkung gegeben ist:

$${{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,y,ef}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}}}} = {{5,47 \cdot {{10}^{12}}} \over {3,79 \cdot {{10}^{13}}}} = 0,144 > 0,05$$

→ gemäß ÖNORM B 1995-1-1:2019 [4] kann die Querverteilungswirkung berücksichtigt werden.

Verschmieren des Eigengewichtes auf Deckenstreifen mit der Breite b = 1,00 m

$$m = {{{g_k}} \over {{b_{sys}}}} = {{7,50 \cdot {{10}^2}} \over {1,35}} = 556\;kg/{m^2}$$

$${f_1} = {\pi \over {2 \cdot {l^2}}} \cdot \sqrt {{{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}}} \over m}} \cdot \sqrt {1 + {{\left( {{l \over b}} \right)}^4} \cdot {{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,y,ef}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}}}}} = {\pi \over {2 \cdot {{7,50}^2}}} \cdot \sqrt {{{3,79 \cdot {{10}^{13}} \cdot {{10}^{ - 6}}} \over {556}}} \cdot \sqrt {1 + {{\left( {{{7,50} \over {10,0}}} \right)}^4} \cdot {{5,47 \cdot {{10}^{12}}} \over {3,79 \cdot {{10}^{13}}}}} = 7,29 \cdot 1,02 = 7,44\;Hz$$

$${f_{1,\min }} \le {f_1} < {f_{gr}} \to 4,50 < 7,44 < 8,00\;Hz$$

→ es sind das „Steifigkeitskriterium“ und die „Schwingbeschleunigung“ nachzuweisen

Nachweis des Steifigkeitskriteriums

$${b_F} = \min \left\{ \matrix{ Deckenbreite\;b \hfill \cr {l \over {1,1}} \cdot \root 4 \of {{{{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,y,ef}}} \over {{{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}}}}} \hfill \cr} \right. = \min \left\{ \matrix{ 10,0 \hfill \cr {{7,50} \over {1,1}} \cdot \root 4 \of {{{5,47 \cdot {{10}^{12}}} \over {3,79 \cdot {{10}^{13}}}}} \hfill \cr} \right. = 4,20\;m$$

$${w_{stat}} = {{F \cdot {l^3}} \over {48 \cdot {{\left( {E \cdot I} \right)}_{TCC,x,ef}} \cdot {b_f}}} = {{1,00 \cdot {{7,50}^3}} \over {48 \cdot 3,79 \cdot {{10}^{13}} \cdot 4,20}} \cdot {10^{12}} = 0,0552\;mm < 0,25\;mm$$

→ das Steifigkeitskriterium ist erfüllt

Nachweis der Schwingbeschleunigung

$${M^*} = m \cdot {l \over 2} \cdot {b \over 2} = 556 \cdot {{7,50} \over 2} \cdot {{10,0} \over 2} = 10.400\;kg$$

$$\alpha = {e^{ - 0,4 \cdot {f_1}}} = {e^{ - 0,4 \cdot 7,44}} = 0,0510$$

mit dem angenommenen Dämpfungsgrad ξ = 0,035

$${a_{rms}} = {{0,4 \cdot \alpha \cdot {F_0}} \over {2 \cdot \xi \cdot {M_0}}} = {{0,4 \cdot 0,0510 \cdot 700} \over {2 \cdot 0,035 \cdot 10.400}} = 0,0196\;m/{s^2} < {a_{gr}} = 0,05\;m/{s^2}$$

→ das Beschleunigungkriterium ist erfüllt.

Zusammenfassung

Die HBV-Decke erfüllt hinsichtlich des Schwingungsverhaltens die Anforderungen an die Deckenklasse I gemäß ÖNORM B 1995-1-1:2019 [4].

Begrenzung der Rissbreite im Beton

Der Nachweis der Rissbreitenbeschränkung erfolgt vereinfacht (ohne Berechnung der Rissbreite) unter Anwendung von Tabelle 9.1 aus ONR CEN/TS 19103:2022 [2] (Auszug aus Tabelle 9.1 aus [2]).

vorhandene Bewehrung: AQ 50: A_s,prov = A_s,längs = A_s,quer = 1,96 cm²/m (Ø5/100)

Nachweis der Mindestbewehrung

$$A_\text{s,prov} = 1,96 \text{ cm}^2 / \text{m} > A_\text{s,req} = 1,54 \text{ cm}^2 / \text{m}$$

Nachweis Grenzdurchmesser und Höchstwerte der Stababstände

Grenzduchmesser: d_prov = 5,00 mm < d_req = 6,00 mm

Achsabstand: a_prov = 100 mm < a_req = 150 mm

Nachweis für eine Feuerwiderstandsdauer R 90